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射影定理

定理 3.4（「Hilbert 空間の基礎」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{H}$ を Hilbert 空間とする。

$K\subset\mathcal{H}$ を空でない閉凸集合とする。任意の $x\in\mathcal{H}$ に対して、 $\|x - p\| = \inf_{k\in K}\|x-k\|$ を満たす $p\in K$ がただ 1 つ存在する。
$M\subset\mathcal{H}$ を閉部分空間とする。任意の $x\in\mathcal{H}$ は $x = p + q$ （ $p\in M$ , $q\in M^\perp$ ）とただ 1 通りに分解でき、 $p$ は 1 の意味での $M$ における $x$ の最近点である。すなわち $\mathcal{H} = M\oplus M^\perp$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理証明で参照している 9 件

0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
直交射影の性質✓命題 3.6・Hilbert 空間の基礎
二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
有界列の弱収束部分列（可分性なし）✓系 5.6・Hilbert 空間の基礎
自然錐の性質✓命題 7.5・Liouvillean と熱平衡への回帰
縮小作用素の不動点✓補題 4.1・エルゴード定理
伊藤のマルチンゲール表現定理✓定理 5.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理

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