数学 › 確率論 › Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理

伊藤のマルチンゲール表現定理

定理 5.2（「Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 122 件、定義なども含めて 144 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

  • 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

    • 単純過程に対する伊藤積分定義 4.2・確率微分方程式
    • 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
    • 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式（上で展開済み）
  • 伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式

    • 伊藤等長性（単純過程の場合）✓定理 4.3・確率微分方程式

      • 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
    • 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式（上で展開済み）
    • リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入

      • 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
      • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    • ドゥーブの L² 極大不等式✓補題 4.6・確率微分方程式

      • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
  • 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値

    • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値

      • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値 この先をたどる →
    • 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値

      • 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
      • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値 この先をたどる →
  • 独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値

    • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値（上で展開済み）
    • 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値 この先をたどる →
  • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

    • 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
    • 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値 この先をたどる →
    • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値 この先をたどる →
  • 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式

    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Lebesgue の微分定理✓定理 5.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理 この先をたどる →
• 三角指数関数の確率積分表示✓補題 5.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理

  • 多次元伊藤公式✓定理 5.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け

    • 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
    • 共変分の離散近似✓定理 4.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け この先をたどる →
    • マルコフの不等式✓定理 6.1・確率変数と期待値

      • 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  • 確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け（上で展開済み）
• 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル

  • Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル

    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル

    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
• Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
• 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎

  • 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
  • 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
  • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Brown フィルトレーションのマルチンゲール✓系 5.3・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理