数学 › 解析学（実解析） › 符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

Lebesgue の微分定理

定理 5.3（「符号付き測度と Radon–Nikodym の定理」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• 極大不等式✓定理 5.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

  • Vitali の被覆補題✓補題 5.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
• 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度

  • 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度

    • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
    • ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度
  • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度

    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定

      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
      • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定 この先をたどる →
      • ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• 単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式
• 不定積分の微分✓系 5.4・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
• 単調関数の微分✓定理 6.6・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
• Simon–Wolff の判定✓定理 4.3・Jacobi 行列とモーメント問題