ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）

定理 7.10（「級数と収束判定」§7）・ ✓公理まで証明済み

$(a_n)_{n\ge1}$ を実数または複素数の数列、 $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ を全単射とする。

すべての $n$ で $a_n\ge0$ （実数）ならば、 $\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}=\sum_{n=1}^\infty a_n$ が $[0,+\infty]$ の値として成り立つ。とくに一方が収束することと他方が収束することは同値である。
$\sum_{n=1}^\infty a_n$ が絶対収束するならば、並べ替え $\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}$ も絶対収束し、

\sum_{n=1}^\infty|a_{\sigma(n)}|=\sum_{n=1}^\infty|a_n|,\qquad \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}=\sum_{n=1}^\infty a_n

が成り立つ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
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- 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面
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  - 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
- 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定（上で展開済み）
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
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絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
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  - 無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限