数学 › 微分積分学 › 級数と収束判定

二重級数の和の順序交換

定理 7.11（「級数と収束判定」§7） ・ ✓公理まで証明済み

(akl)k,l≥1(a_{kl})_{k,l\ge1} を実数または複素数の族とする。

  1. すべての k,lk,l で akl≥0a_{kl}\ge0（実数）ならば、[0,+∞][0,+\infty] の値として
∑k=1∞(∑l=1∞akl)=∑l=1∞(∑k=1∞akl)=sup⁡FaF\sum_{k=1}^\infty\Bigl(\sum_{l=1}^\infty a_{kl}\Bigr)=\sum_{l=1}^\infty\Bigl(\sum_{k=1}^\infty a_{kl}\Bigr)=\sup_{F}a_F

が成り立つ（sup⁡\sup は有限集合 F⊂N2F\subset\mathbb{N}^2 にわたる。内側の和が +∞+\infty になる場合も、外側の和は部分和の上限と約束する）。さらに任意の全単射 φ:N→N2\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}^2 について ∑n=1∞aφ(n)=sup⁡FaF\sum_{n=1}^\infty a_{\varphi(n)}=\sup_Fa_F である。 2. R=sup⁡F∑(k,l)∈F∣akl∣<∞R=\sup_F\sum_{(k,l)\in F}|a_{kl}|<\infty と仮定する（1 により、これは ∑k∑l∣akl∣<∞\sum_k\sum_l|a_{kl}|<\infty とも ∑l∑k∣akl∣<∞\sum_l\sum_k|a_{kl}|<\infty とも同値）。このとき、任意の全単射 φ:N→N2\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}^2 について ∑naφ(n)\sum_{n}a_{\varphi(n)} は絶対収束し、その和 SS は φ\varphi によらない。さらに N2\mathbb{N}^2 を有限集合または可算無限集合 I1,I2,…I_1,I_2,\ldots（空でもよい）の互いに素な合併に分けると、各 cj=∑(k,l)∈Ijaklc_j=\sum_{(k,l)\in I_j}a_{kl}（IjI_j が無限なら上の意味の級数）は絶対収束して並べ方によらず定まり、∑jcj\sum_jc_j も絶対収束して ∑j=1∞cj=S\sum_{j=1}^\infty c_j=S である。とくに

∑k=1∞(∑l=1∞akl)=∑l=1∞(∑k=1∞akl)=S\sum_{k=1}^\infty\Bigl(\sum_{l=1}^\infty a_{kl}\Bigr)=\sum_{l=1}^\infty\Bigl(\sum_{k=1}^\infty a_{kl}\Bigr)=S

であり、内側の級数はどれも絶対収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 28 件