BCH 公式（積分表示と収束域）

定理 6.2（「行列 Lie 群と指数写像」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X,Y\in M_n(\mathbb{C})$ が $\|X\|+\|Y\|\lt\frac14$ を満たすとき、 $Z=\log(e^Xe^Y)$ が定義されて $e^Z=e^Xe^Y$ であり、

Z=X+\int_0^1\psi\bigl(e^{\operatorname{ad}X}e^{t\operatorname{ad}Y}\bigr)(Y)\,dt

が成り立つ。右辺の $\psi(\cdots)$ を冪級数で展開し、さらに $e^{\operatorname{ad}X}e^{t\operatorname{ad}Y}$ を展開して得られる $X,Y$ の反復交換子の級数は絶対収束し、その最初の項は

Z=X+Y+\frac12[X,Y]+\frac1{12}[X,[X,Y]]-\frac1{12}[Y,[X,Y]]+(\text{4 次以上の反復交換子})

である。特に $Z$ は $X,Y$ が生成する Lie 部分環に属する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定（上で展開済み）
指数写像の微分公式✓補題 6.1・行列 Lie 群と指数写像
- 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
  - 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
  - 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
    級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 8 件

単連結な群への持ち上げ（Lie の第 2 定理）✓定理 7.1・行列 Lie 群と指数写像
ζ₁ の部分（原論文 (1.30)(1.31)）✓補題 6.12・Bałaban『Large field renormalization II』精読第 1 部
積の対数の 2 次の剰余（原論文 (29)–(31)）✓補題 2.5・準備 1
局所的な作用素の展開（CMP 99 (3.7)–(3.12)、(3.50)–(3.83)、(3.116)(3.117)）✓補題 6.2・準備 3
作用の展開と剰余の評価（原論文 (22)–(41)）✓命題 4.2・準備 4
ゲージ変換した場の 1 次の変化（原論文 (4.8)）✓補題 3.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読第 3 部
反対項 $\beta_jA$ の展開（原論文 (4.38)–(4.45)）✓命題 5.8・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読第 3 部
Theorem 2 の第 2 の証明（(3.68)–(3.72)）✓定理 8.2・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)

BCH 公式（積分表示と収束域）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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