Lie 群と Lie 環の表現論

数学修士無料 6 章有料 0 章

行列 Lie 群と指数写像、Lie 環の構造論、ルート系、最高ウェイト理論、SU(N) の表現と Young 図形、Lorentz 群・Poincaré 群の表現を扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）・数学や物理を深く学びたい人

前提テーマ:代数学（群・環・体）、多様体論、線形代数学

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章行列 Lie 群と指数写像無料GL(n,C) の閉部分群が自動的に Lie 群になること（閉部分群定理）を示し、連続準同型が Lie 環の準同型を誘導すること、BCH 公式の積分表示と収束域、単連結群への準同型の持ち上げ、SU(2)→SO(3) と Spin(n)→SO(n) の 2 重被覆を証明する。
2. 第 2 章Lie 環の構造論無料可解・冪零 Lie 環を定義し、Engel の定理と Lie の定理を証明する。Jordan–Chevalley 分解から Cartan の判定法を導き、半単純性と Killing 形式の非退化性の同値、単純イデアルへの分解、Weyl の完全可約性、sl(2,C) の有限次元表現の分類まで示す。
3. 第 3 章ルート系と Weyl 群無料半単純 Lie 環の極大トーラス部分環（Cartan 部分環）が自分の中心化環に一致することを示してルート空間分解を導き、sl(2) の表現論からルートの整数性と鎖の性質を証明する。抽象ルート系の単純ルートの存在、Weyl 群の生成と単純推移性、Dynkin 図による既約ルート系の分類を証明する。
4. 第 4 章最高ウェイト理論無料普遍包絡環の PBW の定理を証明し、Verma 加群を構成して、半単純 Lie 環の有限次元既約表現が支配的整ウェイトで分類されることを示す。Casimir 元を使って Weyl の指標公式と次元公式を導き、U(N)・SU(N) の Weyl の積分公式を Jacobian の計算で証明する。
5. 第 5 章SU(N) の表現と Young 図形無料Young 対称化子で対称群の既約表現（Specht 加群）を構成し、Schur–Weyl 双対性でテンソル積を分解する。Weyl の積分公式から U(N)・SU(N) の既約指標が Schur 多項式であることを示し、次元公式、Pieri 則、Littlewood–Richardson 則を Bender–Knuth 対合で証明する。
6. 第 6 章Lorentz 群・Poincaré 群の表現無料SL(2,C) の有限次元既約表現が (j₁,j₂) で分類されることを、実 Lie 環の複素化 sl(2,C)⊕sl(2,C) と単連結性から証明する。Poincaré 群の小群からの誘導表現を構成し、その既約性と同値類の分類を Fourier 解析と測度論で示して、Wigner の粒子分類の数学的基礎を与える。