SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則

0. この記事の要点

$N$ 種類の状態をもつ粒子が $k$ 個あるとき、その状態全体には「粒子を入れ替える操作」と「各粒子の状態を一斉に回す操作」という 2 種類の対称性が同時に働きます。この記事は、2 つの対称性が互いに相手を決めていることを示し、そこから $SU(N)$ の表現が箱を並べた図形（Young 図形）で整理できること、図形のルールで表現の掛け算が計算できることを導きます。読み終えると、$\mathbf3\otimes\mathbf3\otimes\mathbf3$ のような分解を、図形のルールから自分で導けるようになります。

• $k$ の分割 $\lambda$（Young 図形）ごとに Young 対称化子 $c_\lambda=a_\lambda b_\lambda$（行を保つ置換の和 $a_\lambda$ と、列を保つ置換の符号付きの和 $b_\lambda$ の積）を作ると、$\mathbb{C}[S_k]c_\lambda$ は対称群 $S_k$ の既約表現（Specht 加群）で、これで $S_k$ の既約表現が過不足なく得られます。
• Schur–Weyl 双対性: $V=\mathbb{C}^N$ のとき $V^{\otimes k}\cong\bigoplus_{\lambda\vdash k,\ \ell(\lambda)\le N}S_\lambda V\otimes S^\lambda$ で、$S_\lambda V=c_\lambda V^{\otimes k}$ は $U(N)$ の互いに非同型な既約表現です。$U(N)$ の作用と $S_k$ の作用は互いの可換子環（相手の作用すべてと交換できる作用素の全体）を生成します。
• $U(N)$ の既約表現は非増加な整数列 $\lambda=(\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_N)$ と 1 対 1 に対応し、指標は Schur 多項式 $s_\lambda=\det(z_j^{\lambda_k+N-k})/\det(z_j^{N-k})$ です。$SU(N)$ では $\lambda_N=0$（行が $N-1$ 本以下の Young 図形）に制限されます。次元は $\prod_{j\lt k}(\lambda_j-\lambda_k+k-j)/(k-j)$ です。
• Schur 多項式は半標準 Young 盤の母関数 $\sum_Tz^{\mathrm{wt}(T)}$ に等しく、積 $s_\mu s_\nu$ の展開係数は Littlewood–Richardson 盤 の個数です。特別な場合が Pieri 則（水平帯、つまりどの 2 箱も同じ列に入らないように箱を足す規則）です。
• これらは 指標と SU(2)・SU(N) の表現 の 定理 5.3［指標と SU(2)・SU(N) の表現］ と、Weingarten の積分公式が前提にしている Schur–Weyl 双対性に証明を与えます。

この記事で使う事前知識

• 既約表現: それ以上小さな部分表現に分けられない表現。→ 既約表現
• 指標: 群の各元に、表現を表す行列の対角成分の和を対応させた関数。→ 指標
• Maschke の定理: 有限群の表現は既約表現の直和に分かれる。→ Maschke の定理
• Schur の補題: 既約表現の間の可換な線形写像は、0 か同型（同じ表現どうしならスカラー倍）に限る。→ Schur の補題
• 最高ウェイト: 既約表現を特徴づける、対角行列の作用での「いちばん大きい」固有値の指数。→ 最高ウェイト理論
• Weyl の積分公式: $U(N)$ 上の積分を、対角行列の群上の積分に直す公式。→ Weyl の積分公式

1. 動機

素粒子物理のクォーク模型では、$SU(3)$ の基本表現 $\mathbf3$ のテンソル積を Young 図形で分解し、$\mathbf3\otimes\mathbf3=\mathbf6\oplus\bar{\mathbf3}$、$\mathbf3\otimes\mathbf3\otimes\mathbf3=\mathbf{10}\oplus\mathbf8\oplus\mathbf8\oplus\mathbf1$ のような規則を使います。この計算法の背後には 2 つの事実があります。1 つは、$V^{\otimes k}$ の中で $GL(V)$ の作用と、テンソルの因子を入れ替える対称群 $S_k$ の作用が、ちょうど互いの「可換子」になっていること（Schur–Weyl 双対性）。もう 1 つは、既約表現の指標が Schur 多項式という具体的な対称関数で与えられ、その積が組合せ論的な規則で展開できることです。

前章では、半単純 Lie 環の有限次元既約表現を最高ウェイトで分類し、Weyl の指標公式を導きました。$\mathfrak{sl}(N)$ の場合にそれを当てはめると、指標は Schur 多項式になります。しかしこの記事では、もう 1 つの道筋をとります。コンパクト群 $U(N)$ の側で、Weyl の積分公式と指標の直交性から、既約指標が Schur 多項式でしかありえないことを直接示し、Schur–Weyl 双対性で実際にそれらを構成するのです。こうすると、Lie 環の表現を群の表現に持ち上げる議論（$SU(N)$ の単連結性）を経由せずに済みます。

記事の後半は組合せ論です。Schur 多項式どうしの積の展開（Littlewood–Richardson 則）は、表現のテンソル積の分解にほかなりません。その証明には、Bender–Knuth 対合と呼ばれる、半標準盤の上の巧妙な全単射を使います。同じ議論から、Schur 多項式が半標準盤の母関数であるという組合せ論的な表示と、物理でよく使う Pieri 則（箱を足す規則）が系として得られます。

2. 準備：分割・Young 図形・交代式

$k$ の 分割 $\lambda\vdash k$ とは、$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge0$、$\sum\lambda_i=k$ を満たす整数列で、$0$ でない項の個数を長さ $\ell(\lambda)$ と書きます。$\lambda$ の Young 図形 は、第 $i$ 行に $\lambda_i$ 個の箱を左詰めで並べた図形で、列の長さの列を共役分割 $\lambda'$ と書きます。箱に $1,\dots,k$ を 1 つずつ書いたものを Young 盤 といい、基準として第 1 行から順に左から $1,2,\dots$ と書いた盤 $T_\lambda$ を固定します。たとえば $\lambda=(3,2)$ なら $T_\lambda$ は第 1 行が $1,2,3$、第 2 行が $4,5$ の盤で、行を保つ置換は $\lbrace1,2,3\rbrace$ と $\lbrace4,5\rbrace$ の中だけでの入れ替え、列を保つ置換は $\lbrace1,4\rbrace$、$\lbrace2,5\rbrace$ の中だけでの入れ替えです（次節で使います）。

λ=(3,2) の基準盤 T_λ。行を保つ置換は同じ行の数どうしだけを入れ替え、列を保つ置換は同じ列の数どうしだけを入れ替える。

$N$ 変数の単項式 $z^\alpha=z_1^{\alpha_1}\cdots z_N^{\alpha_N}$（$\alpha\in\mathbb{Z}^N$）について、交代式 を

$$a_\alpha(z)=\sum_{\sigma\in S_N}\varepsilon(\sigma)\,z_{\sigma(1)}^{\alpha_1}\cdots z_{\sigma(N)}^{\alpha_N}=\det\bigl(z_j^{\alpha_k}\bigr)_{j,k=1}^N$$

で定めます。$\alpha$ の成分に重複があれば $a_\alpha=0$ で、変数の置換で $a_\alpha$ は符号 $\varepsilon$ 倍されます。$\delta=(N-1,N-2,\dots,1,0)$ とすると $a_\delta=\prod_{j\lt k}(z_j-z_k)$（Vandermonde 行列式）です。

定義 2.1（Schur 多項式）↗

非増加な整数列 $\lambda=(\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_N)\in\mathbb{Z}^N$ に対し

$$s_\lambda(z_1,\dots,z_N)=\frac{a_{\lambda+\delta}(z)}{a_\delta(z)}$$

を Schur 多項式（$\lambda_N\lt0$ なら Laurent 多項式）という。

交代的な（Laurent）多項式は $z_j=z_k$ で $0$ になるので $z_j-z_k$ で割り切れ、これらは互いに素な既約多項式なので積 $a_\delta$ で割り切れます（定理 2.5［多項式環と体の拡大］ の一意分解性を多変数に延ばしたもの。$\lambda_N\lt0$ なら $(z_1\cdots z_N)^{-\lambda_N}$ を掛けてから考えます）。よって $s_\lambda$ は対称な Laurent 多項式です。また、交代的な Laurent 多項式は、$z^\nu$ の係数が置換で符号を変えることから、$\nu$ が狭義減少な $a_\nu$ たちの整数係数 1 次結合として一意に書けます。$a_{\lambda+\delta}\cdot(z_1\cdots z_N)^m=a_{\lambda+m\mathbf1+\delta}$（$\mathbf1=(1,\dots,1)$）なので $s_{\lambda+m\mathbf1}=(z_1\cdots z_N)^ms_\lambda$ です。

3. 対称群の既約表現：Specht 加群

$A=\mathbb{C}[S_k]$ を群環とします。$P$ を $T_\lambda$ の各行を保つ置換の部分群、$Q$ を各列を保つ置換の部分群とし、

$$a_\lambda=\sum_{p\in P}p,\qquad b_\lambda=\sum_{q\in Q}\varepsilon(q)q,\qquad c_\lambda=a_\lambda b_\lambda$$

とおきます（Young 対称化子）。$P\cap Q=\lbrace1\rbrace$ なので $c_\lambda=\sum_{p,q}\varepsilon(q)pq$ の項 $pq$ は相異なり、$1$ の係数は $1$ です。また $pa_\lambda=a_\lambda p=a_\lambda$、$qb_\lambda=b_\lambda q=\varepsilon(q)b_\lambda$ です。

次の補題は、$c_\lambda$ の性質を調べるための純粋に組合せ論的な準備です。1 は、$PQ$ の形に書けない置換 $g$ には必ず「行の互換」と「列の互換」で $tg=gt'$ となる組があることを述べます。たとえば $\lambda=(2,1)$（第 1 行 $1,2$、第 2 行 $3$）では $P=\lbrace1,(1\,2)\rbrace$、$Q=\lbrace1,(1\,3)\rbrace$ で、$g=(2\,3)$ は $PQ$ に入りませんが、$t=(1\,2)$ に対し $g^{-1}tg=(1\,3)=t'\in Q$ となります。2 は、形の異なる 2 つの盤の間で、一方の同じ行にある 2 数が他方の同じ列に入ってしまう、という鳩の巣原理の主張です。

補題 3.1（Young 盤の組合せ論的補題）✓

1. $g\in S_k$ が $PQ$ に属さなければ、互換 $t\in P$、$t'\in Q$ で $tg=gt'$ となるものがある。
2. 分割 $\lambda\ne\mu$ が辞書式順序で $\lambda\gt\mu$ ならば、任意の $g\in S_k$ について、$T_\lambda$ の同じ行にあり $gT_\mu$ の同じ列にある 2 つの数がある。

証明（補題 3.1）

2: $T_\lambda$ の第 1 行の $\lambda_1$ 個の数がすべて $gT_\mu$ の相異なる列にあるとすると $\mu_1\ge\lambda_1$ なので $\mu_1=\lambda_1$ です。$gT_\mu$ の列の中で並べ替える（$gT_\mu$ を $g'T_\mu$、$g'\in gQ_\mu$ に置き換えても列は同じ）ことで、それらが $gT_\mu$ の第 1 行にあるとしてよく、両方の第 1 行を除いて同じ議論を続けます。$\lambda\gt\mu$ なので、ある段階で $\lambda_i\gt\mu_i$ となり、鳩の巣原理で同じ列に入る 2 数が出ます。

1: $gT_\lambda$ を $T'$ と書きます。$T_\lambda$ の同じ行にあって $T'$ の同じ列にある 2 数 $x,y$ があれば、$t=(x\,y)\in P$、$t'=g^{-1}tg$ は $T_\lambda$ の同じ列の 2 数（$g^{-1}x$, $g^{-1}y$）の互換なので $t'\in Q$ で、$tg=gt'$ です。そのような 2 数がないとすると、2 と同じ議論（$\lambda=\mu$ の場合）で、$T_\lambda$ の各行の数は $T'$ の相異なる列にあり、ある $q'\in g Q g^{-1}$（$T'$ の列を保つ置換）で $q'T'$ の第 $i$ 行と $T_\lambda$ の第 $i$ 行が集合として一致するようにでき、さらに $p\in P$ で $pT_\lambda=q'T'$ です。$q'=gqg^{-1}$（$q\in Q$）と書くと $pT_\lambda=gqg^{-1}gT_\lambda=gqT_\lambda$ なので $p=gq$、$g=pq^{-1}\in PQ$ となり仮定に反します。

∎

次の補題の 2 は、$c_\lambda$ を定数倍すると 2 乗しても変わらない元（冪等元）になることを、3 は形の異なる対称化子が互いに干渉しないことを述べます。次の定理で、$Ac_\lambda$ が既約であること、形が違えば同型でないことを示すために使います。

補題 3.2（Young 対称化子の性質）✓

1. $x\in A$ がすべての $p\in P$、$q\in Q$ について $pxq=\varepsilon(q)x$ を満たせば、$x$ は $c_\lambda$ のスカラー倍である。特に $c_\lambda Ac_\lambda\subset\mathbb{C}c_\lambda$。
2. $c_\lambda^2=n_\lambda c_\lambda$、$n_\lambda=k!/\dim(Ac_\lambda)\ne0$。
3. 辞書式順序で $\lambda\gt\mu$ ならば $a_\lambda Ab_\mu=0$、したがって $c_\lambda Ac_\mu=0$。

証明（補題 3.2）

1: $x=\sum_gx_gg$ とすると、条件は $x_{pgq}=\varepsilon(q)x_g$ です。$g\notin PQ$ なら 補題 3.1 の 1 の $t,t'$ について $x_g=x_{tgt'}=-x_g$ なので $x_g=0$ です。$x_{pq}=\varepsilon(q)x_1$ なので $x=x_1c_\lambda$ です。$c_\lambda yc_\lambda$ は条件を満たします。

2: 1 から $c_\lambda^2=n_\lambda c_\lambda$ と書けます。右からの掛け算 $F(y)=yc_\lambda$ を $A$ の線形変換とみると、$g\mapsto gc_\lambda$ の $g$ 成分は $1$ なので $\operatorname{tr}F=k!$ です。一方 $F$ の像は $Ac_\lambda$ に入り、$Ac_\lambda$ 上で $F$ は $n_\lambda$ 倍なので $\operatorname{tr}F=n_\lambda\dim(Ac_\lambda)$ です。

3: $g\in S_k$ について、補題 3.1 の 2 の 2 数 $x,y$ の互換 $t$ は $P$ に属し、かつ $gT_\mu$ の列を保つので $g^{-1}tg\in Q_\mu$ です。$a_\lambda gb_\mu=a_\lambda tg b_\mu=a_\lambda g(g^{-1}tg)b_\mu=-a_\lambda gb_\mu$ より $0$ です。

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定理 3.3（対称群の既約表現）✓

$S^\lambda=Ac_\lambda$（$\lambda\vdash k$）を Specht 加群 と呼ぶ。$S^\lambda$ は $S_k$ の既約表現で、$\lambda\ne\mu$ なら $S^\lambda\not\cong S^\mu$ であり、$S_k$ の既約表現はこれらで尽きる。

証明（定理 3.3）

既約性。 $W\subset S^\lambda$ を部分表現とすると、Maschke の定理（定理 3.1［有限群の表現］）から $S^\lambda=W\oplus W'$ です。補題 3.2 の 1 から $c_\lambda S^\lambda\subset\mathbb{C}c_\lambda$ で、2 から $c_\lambda\cdot c_\lambda=n_\lambda c_\lambda\ne0$ なので $c_\lambda S^\lambda=\mathbb{C}c_\lambda$ です。$c_\lambda S^\lambda=c_\lambda W+c_\lambda W'$ なので、たとえば $c_\lambda W=\mathbb{C}c_\lambda$ となり、$W$ は左イデアルだから $c_\lambda\in W$、$S^\lambda=Ac_\lambda\subset W$ です。

非同型。 $\lambda\gt\mu$（辞書式）とすると、$c_\lambda$ は $S^\lambda$ に $0$ でなく作用し（$c_\lambda c_\lambda\ne0$）、$S^\mu$ には 補題 3.2 の 3 から $0$ で作用します（$c_\lambda Ac_\mu=0$）。同型な表現では $c_\lambda$ の作用も同型なので、$S^\lambda\not\cong S^\mu$ です。

完全性。 $S_k$ の共役類は巡回型、すなわち $k$ の分割と 1 対 1 に対応するので、既約表現の個数は分割の個数に等しく（定理 6.1［有限群の表現］）、$S^\lambda$ で尽きます。

∎

$e_\lambda=c_\lambda/n_\lambda$ は冪等元 $e_\lambda^2=e_\lambda$ で、$S^\lambda=Ae_\lambda$ です。任意の $A$ 加群 $M$ について、$\varphi\mapsto\varphi(e_\lambda)$ は線形同型

$$\operatorname{Hom}_A(Ae_\lambda,M)\cong e_\lambda M=c_\lambda M$$

を与えます（$\varphi(e_\lambda)=\varphi(e_\lambda^2)=e_\lambda\varphi(e_\lambda)$、逆写像は $m\mapsto(xe_\lambda\mapsto xm)$）。これを次節で使います。

4. Schur–Weyl 双対性

$V=\mathbb{C}^N$、$e_1,\dots,e_N$ を標準基底とします。$S_k$ は $V^{\otimes k}$ に因子の置換 $\sigma\cdot(v_1\otimes\cdots\otimes v_k)=v_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma^{-1}(k)}$ で作用し、$GL(V)$ は $g\mapsto g^{\otimes k}$ で作用し、両者は可換です。$A$ の像を $\mathcal{B}\subset\operatorname{End}(V^{\otimes k})$、$\lbrace g^{\otimes k}\rbrace$ の張る部分空間を $\mathcal{A}$ とします。

次の補題は、定理の 1 で「$S_k$ の作用と可換な作用素は $X^{\otimes k}$ の形のもので張られる」ことを言うための道具です。証明の分極公式は、$x_1\otimes\cdots\otimes x_k$ のすべての並べ替えの和を、$k$ 乗の形だけで書き表すためのものです。

補題 4.1（対称テンソルは冪で張られる）✓

有限次元空間 $X$ について、$X^{\otimes k}$ の $S_k$ 不変元は $x^{\otimes k}$（$x\in X$）で張られる。

証明（補題 4.1）

不変元は $\sum_\sigma\sigma(x_1\otimes\cdots\otimes x_k)$ の形の元で張られます（不変元 $y$ は $y=\frac1{k!}\sum_\sigma\sigma y$）。分極公式

$$\sum_{\epsilon\in\lbrace0,1\rbrace^k}(-1)^{k-\sum\epsilon_i}\Bigl(\sum_i\epsilon_ix_i\Bigr)^{\otimes k}=\sum_{\sigma\in S_k}x_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes x_{\sigma(k)}$$

が成り立ちます。左辺を展開すると $x_{j_1}\otimes\cdots\otimes x_{j_k}$ の係数は $\sum_{\epsilon\ge1_J}(-1)^{k-|\epsilon|}$（$J=\lbrace j_1,\dots,j_k\rbrace$）で、包除原理により $J$ が全体のとき $1$、そうでなければ $0$ だからです。

∎

定理 4.2（Schur–Weyl 双対性）✓

1. $\mathcal{A}=\operatorname{End}_{S_k}(V^{\otimes k})$ であり、$\mathcal{A}$ は $\lbrace u^{\otimes k} : u\in U(N)\rbrace$ でも張られる。
2. $\lambda\vdash k$ について $S_\lambda V:=c_\lambda V^{\otimes k}$ とおくと、$U(N)$ の表現として

$$V^{\otimes k}\cong\bigoplus_{\lambda\vdash k}S_\lambda V\otimes S^\lambda$$

であり（$U(N)\times S_k$ の表現として）、$S_\lambda V$ は $0$ でなければ $U(N)$ の既約表現で、$\lambda\ne\mu$ なら $S_\lambda V\not\cong S_\mu V$ である。 3. $S_\lambda V\ne0$ と $\ell(\lambda)\le N$ は同値である。$S_\lambda V$ の対角行列 $t$ に関するウェイト（$t$ の固有値 $t^\mu$ の指数 $\mu$）はすべて $\mu_1+\cdots+\mu_r\le\lambda_1+\cdots+\lambda_r$（$1\le r\le N$）を満たし、$\ell(\lambda)\le N$ なら $\mu=\lambda$ はウェイトである。 4. 逆向きの可換子についても $\operatorname{End}_{U(N)}(V^{\otimes k})=\mathcal{B}$、すなわち $u^{\otimes k}$（$u\in U(N)$）と可換な作用素は置換作用素 $\sigma\in S_k$ の 1 次結合である。

証明の方針は次のとおりです。1 は、$S_k$ と交換できる作用素が $g^{\otimes k}$ で張られること（補間と整関数の議論は、$GL$ からユニタリ行列に絞るための技術的な部分）。2 は、$V^{\otimes k}$ を $S_k$ の既約表現ごとにまとめ、重複度の空間 $W_\lambda$ に $U(N)$ が既約に働くことを Schur の補題で示す部分。3 は、どの $\lambda$ で $S_\lambda V$ が $0$ でないかをウェイトで調べる部分。4 は、役割を入れ替えて逆向きの可換子を調べる部分です。

証明（定理 4.2）

1。 $\operatorname{End}(V^{\otimes k})=\operatorname{End}(V)^{\otimes k}$ で、$\sigma$ による共役は因子の置換に対応するので、$\operatorname{End}_{S_k}(V^{\otimes k})$ は $\operatorname{End}(V)^{\otimes k}$ の $S_k$ 不変元で、補題 4.1 から $X^{\otimes k}$（$X\in\operatorname{End}V$）で張られます。$(X+sI)^{\otimes k}$ は $s$ の $k$ 次多項式で定数項が $X^{\otimes k}$、$X+sI$ は有限個の $s$ を除いて可逆なので、$k+1$ 個の値で Lagrange 補間すれば $X^{\otimes k}\in\mathcal{A}$ です。

ユニタリ行列で十分なことを示します。線形汎関数 $\ell$ がすべての $u^{\otimes k}$（$u\in U(N)$）で $0$ とします。$F(Z)=\ell\bigl((e^Z)^{\otimes k}\bigr)$ は $Z\in M_N(\mathbb{C})$ の成分の整関数で、$Z=iH$（$H$ エルミート）で $0$ です。$i\,\mathrm{Herm}(N)$ の実基底は $M_N(\mathbb{C})$ の複素基底なので、その座標で $F$ の冪級数展開の係数は実部分空間上の偏微分で決まり、すべて $0$、$F\equiv0$ です。よって $g\mapsto\ell(g^{\otimes k})$ は $g$ の成分の多項式で、$I$ の近傍 $\exp(\text{小さい }Z)$ で $0$ なので恒等的に $0$ です。

2。 Maschke の定理と 定理 3.3 から、$V^{\otimes k}$ は $S_k$ の表現として $\bigoplus_\lambda S^\lambda\otimes W_\lambda$、$W_\lambda=\operatorname{Hom}_{S_k}(S^\lambda,V^{\otimes k})$ と分解します（$s\otimes\varphi\mapsto\varphi(s)$ が同型）。Schur の補題（定理 4.1［有限群の表現］）から

$$\operatorname{End}_{S_k}(V^{\otimes k})\cong\bigoplus_\lambda\operatorname{End}(W_\lambda)$$

で、1 によりこれは $\mathcal{A}$ です。$\mathcal{A}$ は各 $W_\lambda$ に $\operatorname{End}(W_\lambda)$ 全体として作用するので、$W_\lambda\ne0$ は既約な $\mathcal{A}$ 加群で、$\lambda\ne\mu$ なら非同型です（$\lambda$ 成分への射影は $\mathcal{A}$ の元で、$W_\lambda$ には恒等的に、$W_\mu$ には $0$ で作用します）。$\mathcal{A}$ は $u^{\otimes k}$ で張られるので、$U(N)$ の表現としても既約かつ非同型です。最後に §3 の同型 $W_\lambda\cong c_\lambda V^{\otimes k}=S_\lambda V$ は $\mathcal{A}$ の作用と可換です。

3。 $e_I=e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_k}$ を、$T_\lambda$ の箱 $p$ に $i_p$ を書いた「盤」とみなします。$t=\operatorname{diag}(t_1,\dots,t_N)$ は $e_I$ を $t^{\mathrm{wt}(I)}$ 倍し（$\mathrm{wt}(I)_j$ は $j$ を書いた箱の数）、$S_k$ は重さを保ちます。ある列に同じ数が 2 つあれば、その互換 $\tau\in Q$ について $\tau e_I=e_I$、$b_\lambda\tau=-b_\lambda$ なので $b_\lambda e_I=0$ です。よって $S_\lambda V=a_\lambda b_\lambda V^{\otimes k}$ のウェイトは「各列の数が相異なる盤」の重さです。そのような盤で $r$ 以下の数は第 $j$ 列に高々 $\min(r,\lambda'_j)$ 個なので、$\mu_1+\cdots+\mu_r\le\sum_j\min(r,\lambda'_j)=\lambda_1+\cdots+\lambda_r$ です。$\ell(\lambda)\gt N$ なら第 1 列に $\lambda'_1\gt N$ 個の相異なる数は書けないので $b_\lambda=0$、$S_\lambda V=0$ です。$\ell(\lambda)\le N$ なら、第 $i$ 行に $i$ を書いた盤 $e_\lambda^{\circ}$ について、$q\in Q$ ごとに $qe_\lambda^\circ$ は相異なる基底元で、そのうち $P$ の元で $e_\lambda^\circ$ に戻るのは $q=1$ だけです（列の数は相異なり、行の内容を保つには各数を元の行に戻すしかない）。よって $c_\lambda e_\lambda^\circ$ の $e_\lambda^\circ$ の係数は $|P|\ne0$ で、ウェイト $\lambda$ の $0$ でないベクトルが得られます。

4。 2 の分解 $V^{\otimes k}=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda_N}W_\lambda\otimes S^\lambda$（$\Lambda_N$ は $W_\lambda\ne0$ となる $\lambda$）で、$\mathcal{A}$ は $\bigoplus_\lambda\operatorname{End}(W_\lambda)\otimes1$ として作用するので、Schur の補題からその可換子は $\bigoplus_\lambda1\otimes\operatorname{End}(S^\lambda)$ です。一方、$\mathbb{C}[S_k]\to\bigoplus_{\lambda\vdash k}\operatorname{End}(S^\lambda)$ は単射（正則表現は忠実で、既約表現の直和です）で、両辺の次元はどちらも $k!$（定理 6.2［有限群の表現］）なので同型です。よって $\mathcal{B}$ は $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda_N}1\otimes\operatorname{End}(S^\lambda)$ 全体で、これは $\mathcal{A}$ の可換子、すなわち $\operatorname{End}_{U(N)}(V^{\otimes k})$ に一致します（1 により $U(N)$ の可換子と $\mathcal{A}$ の可換子は同じ）。

∎

注意 4.3（Schur–Weyl 双対性の使われ方）

4 は「$U^{\otimes k}$ と可換な作用素は置換の 1 次結合」という形で、Haar 積分の計算に直接使われます。$\int_{U(N)}U^{\otimes k}XU^{*\otimes k}dU$ は $U^{\otimes k}$ の可換子への射影なので、置換作用素の 1 次結合に書けて、その係数を Gram 行列の逆（擬逆）で求めたものが Weingarten 関数です（格子ゲージ理論で使う群積分の公式 の 定理 4.3［格子ゲージ理論で使う群積分の公式］）。また 2 は、$V^{\otimes k}$ の中で $U(N)$ の既約成分の重複度が $S_k$ の既約表現の次元に、$S_k$ の既約成分の重複度が $U(N)$ の既約表現の次元に等しいという、2 つの群の役割が完全に対称な関係を述べています。量子情報で $k$ 個の qudit の状態空間を「置換対称性」と「局所ユニタリ対称性」で同時に分解するときに使うのもこの形です。

Young 図形と Pieri 則。μ=(3,1)（灰）に 4 個の箱（色付き）を、どの 2 つも同じ列に入らないように足すと λ=(4,3,1) になる（水平帯）。Pieri 則は s_μ h_4 の展開にこのような λ がちょうど 1 回ずつ現れることを述べる。

5. U(N)・SU(N) の既約表現と Schur 多項式

$G=U(N)$ の有限次元表現 $\pi$ は、Haar 測度での平均によりユニタリとしてよく（命題 7.2［Haar 測度］）、対角行列の群 $T$ に制限すると同時対角化されて、指標は $T$ 上で $\chi_\pi(t)=\sum_\mu m_\mu t^\mu$（$\mu\in\mathbb{Z}^N$、$m_\mu\ge0$ はウェイト $\mu$ の重複度）と書けます。置換行列による共役で $T$ は保たれ座標が入れ替わるので、$\chi_\pi|_T$ は対称な Laurent 多項式です。

定理 5.1（U(N) の既約表現の分類）✓

1. 非増加な $\lambda\in\mathbb{Z}^N$ ごとに、指標が $T$ 上で $s_\lambda$ となる $U(N)$ の既約表現 $\pi_\lambda$ が存在する。$\lambda\vdash k$、$\ell(\lambda)\le N$ なら $\pi_\lambda\cong S_\lambda(\mathbb{C}^N)$、一般には $\pi_\lambda\cong S_{\lambda-\lambda_N\mathbf1}(\mathbb{C}^N)\otimes\det^{\lambda_N}$ である。
2. $U(N)$ の既約表現は、ただ 1 つの $\pi_\lambda$ と同値である。$\lambda$ は $\pi_\lambda$ のウェイトのうち辞書式順序で最大のもの（最高ウェイト）である。
3. $\pi_\lambda$ を $SU(N)$ に制限したものは既約で、$\pi_\lambda|_{SU(N)}\cong\pi_\mu|_{SU(N)}$ は $\lambda-\mu\in\mathbb{Z}\mathbf1$ と同値である。$SU(N)$ の既約表現はすべてこの形である。したがって $SU(N)$ の既約表現は、$\lambda_N=0$ の $\lambda$、すなわち行が $N-1$ 本以下の Young 図形と 1 対 1 に対応する。

証明の方針は次のとおりです。(a) で Schur 多項式が積分に関して正規直交であることを確かめます。(b) では、既約指標のノルムが $1$ であることと (a) から、既約指標は $\pm$ Schur 多項式のどれかだと分かります。符号は、辞書式で最大の単項式（積をとっても最大の項どうしの積になる）の係数が正であることから決まります。(c) で実際に存在すること、(d) で $SU(N)$ への制限を調べます。

証明（定理 5.1）

(a) Schur 多項式の直交性。 定理 7.1［最高ウェイト理論］ の右辺で $s_\lambda\overline{s_\mu}|\Delta|^2=a_{\lambda+\delta}\overline{a_{\mu+\delta}}$（$T$ 上で $|a_\delta|=|\Delta|$）です。$a_{\lambda+\delta}$ は $N!$ 個の相異なる単項式の $\pm1$ 倍の和で、$\lambda\ne\mu$ なら $a_{\mu+\delta}$ と共通の単項式をもちません（狭義減少列 $\lambda+\delta$ の並べ替えは $\lambda+\delta$ を決める）。$T$ 上で単項式は正規直交なので

$$\frac1{N!}\int_Ts_\lambda\overline{s_\mu}\,|\Delta|^2\,dt=\delta_{\lambda\mu}$$

です。

(b) 既約指標は Schur 多項式。 $\pi$ を既約とし、$\chi=\chi_\pi$ とします。$\chi a_\delta$ は交代的なので $\chi a_\delta=\sum_\lambda c_\lambda a_{\lambda+\delta}$（$c_\lambda\in\mathbb{Z}$、有限和）、すなわち $\chi=\sum_\lambda c_\lambda s_\lambda$ です。積分公式、指標の直交関係（定理 3.3［指標と SU(2)・SU(N) の表現］）と (a) から $1=\int_G|\chi|^2dg=\sum_\lambda c_\lambda^2$ なので、$\chi=\pm s_\lambda$ です。辞書式順序は単項式の積と両立するので、$\chi$ の辞書式最大の単項式を $t^\mu$（係数 $m_\mu\gt0$）とすると、$\chi a_\delta$ の辞書式最大の単項式は $t^{\mu+\delta}$ で係数は $m_\mu\gt0$ です。一方 $\pm a_{\lambda+\delta}$ のそれは $\pm t^{\lambda+\delta}$ なので、符号は $+$ で $\mu=\lambda$ です。

(c) 一意性と存在。 2 つの既約表現が同じ $s_\lambda$ を指標にもてば同値です（系 3.4［指標と SU(2)・SU(N) の表現］ の 3）。存在: $\lambda\vdash k$、$\ell(\lambda)\le N$ とすると、定理 4.2 の 2 と 3 から $S_\lambda V$ は既約で、ウェイト $\mu$ はすべて部分和の意味で $\lambda$ 以下、$\lambda$ 自身もウェイトです。部分和が $\lambda$ 以下の $\mu$ は辞書式でも $\lambda$ 以下なので、$S_\lambda V$ の辞書式最高ウェイトは $\lambda$ で、(b) から指標は $s_\lambda$ です。一般の $\lambda$ では $\lambda'=\lambda-\lambda_N\mathbf1$ が分割で、$S_{\lambda'}V\otimes\det^{\lambda_N}$ は既約、指標は $s_{\lambda'}(z_1\cdots z_N)^{\lambda_N}=s_\lambda$ です。

(d) $SU(N)$。 $U(N)$ の各元はスカラー行列と $SU(N)$ の元の積で、スカラー行列は既約表現でスカラーとして作用する（Schur の補題）ので、$SU(N)$ 不変な部分空間は $U(N)$ 不変で、制限は既約です。$\lambda-\mu=m\mathbf1$ なら $\pi_\lambda\cong\pi_\mu\otimes\det^m$ で、$SU(N)$ 上では $\det=1$ です。逆に制限が同値なら、$T'=T\cap SU(N)$ 上で $a_{\lambda+\delta}=a_{\mu+\delta}$ です。$T'$ 上では $t^\alpha=t^\beta$ と $\alpha-\beta\in\mathbb{Z}\mathbf1$ が同値で、相異なる類の単項式は直交するので、$\lambda+\delta\equiv w(\mu+\delta)\pmod{\mathbb{Z}\mathbf1}$ となる置換 $w$ があり、$\lambda+\delta=w(\mu+\delta+m\mathbf1)$ の両辺が狭義減少なので $w=1$、$\lambda=\mu+m\mathbf1$ です。

最後に、$SU(N)$ の既約表現 $\sigma$ が $U(N)$ の表現の制限であることを示します。準同型 $SU(N)\times U(1)\to U(N)$、$(g,z)\mapsto zg$ は全射で核は $\lbrace(\zeta^{-1}I,\zeta) : \zeta^N=1\rbrace$ です。$\sigma(\zeta I)$ は Schur の補題からスカラーで、$\zeta\mapsto\sigma(\zeta I)$ は位数 $N$ の巡回群の指標なので $\zeta^{r}$ の形です。$m\equiv r\pmod N$ ととると、$\sigma\otimes(z\mapsto z^m)$ は核の上で $\zeta^{-r}\zeta^m=1$ なので $U(N)$ の連続表現を誘導し、その $SU(N)$ への制限は $\sigma$ です。

∎

系 5.2（次元公式）✓

$\displaystyle\dim\pi_\lambda=s_\lambda(1,\dots,1)=\prod_{1\le j\lt k\le N}\frac{\lambda_j-\lambda_k+k-j}{k-j}$。

証明（系 5.2）

$z_j=q^{N-j}$（$q\gt0$、$q\ne1$）を代入すると、$a_\alpha(q^{N-1},\dots,q^0)=\det(q^{(N-j)\alpha_k})$ は $q^{\alpha_k}$ を変数とする Vandermonde 行列式なので $\prod_{j\lt k}(q^{\alpha_j}-q^{\alpha_k})$ です。よって

$$s_\lambda(q^{N-1},\dots,1)=\prod_{j\lt k}\frac{q^{\lambda_j+N-j}-q^{\lambda_k+N-k}}{q^{N-j}-q^{N-k}}$$

で、$q\to1$ の極限で各因子は $(\lambda_j-\lambda_k+k-j)/(k-j)$ に収束します（分子分母を $q-1$ で割る）。左辺は $q=1$ で連続なので主張を得ます。

∎

これは前章の Weyl の次元公式（系 6.5［最高ウェイト理論］）を $A_{N-1}$ に当てはめたものと一致します。$\alpha=\varepsilon_j-\varepsilon_k$、$\rho\equiv\delta$ なので $(\lambda+\rho,\alpha)/(\rho,\alpha)=(\lambda_j-\lambda_k+k-j)/(k-j)$ です。定理 5.1 と 系 5.2、定理 4.2 の 2 を合わせると、定理 5.3［指標と SU(2)・SU(N) の表現］ の 3 つの主張がすべて証明されたことになります。

例 5.3（SU(3) のテンソル積）

$N=3$、$k=2$ では $V^{\otimes2}=S_{(2)}V\otimes S^{(2)}\oplus S_{(1,1)}V\otimes S^{(1,1)}$ で、$S^{(2)}$、$S^{(1,1)}$ は $S_2$ の自明表現と符号表現なので、対称テンソル $\mathbf6$ と反対称テンソル $\bar{\mathbf3}$（$(1,1,0)\equiv(0,0,-1)$）への分解 $\mathbf3\otimes\mathbf3=\mathbf6\oplus\bar{\mathbf3}$ です。$k=3$ では分割 $(3),(2,1),(1,1,1)$ について $\dim S^\lambda=1,2,1$、$\dim S_\lambda V=10,8,1$ なので $27=10+2\cdot8+1$、すなわち $\mathbf3^{\otimes3}=\mathbf{10}\oplus\mathbf8\oplus\mathbf8\oplus\mathbf1$ で、$\mathbf8$ の重複度 2 は Specht 加群 $S^{(2,1)}$ の次元です。

6. 半標準盤・Pieri 則・Littlewood–Richardson 則

分割 $\lambda\subset\nu$（$\lambda_i\le\nu_i$）について、$\nu$ の図形から $\lambda$ の図形を除いた 歪図形 $\nu/\lambda$ の箱に $\lbrace1,\dots,N\rbrace$ の数を、各行で左から右へ広義増加、各列で上から下へ狭義増加するように書いたものを 半標準盤 といい、$j$ を書いた箱の数を $\mathrm{wt}(T)_j$ とします。

$$s^{\mathrm{comb}}_{\nu/\lambda}(z)=\sum_Tz^{\mathrm{wt}(T)}$$

とおきます（和は $\nu/\lambda$ の半標準盤全体）。また $T_{\ge j}$ は $T$ の第 $j$ 列以降の部分、$T_{\lt j}$ は第 $j$ 列より左の部分を表します。

次の補題の目的は、半標準盤の母関数が変数の入れ替えで不変（対称）であることを示すことです。そのために、$i$ と $i+1$ の個数だけを交換する盤の変形を作ります。たとえば $\nu=(2,1)$ の盤で、第 1 行が $1,2$、第 2 行が $2$ のとき、第 1 列は $1$ の真下が $2$ なので対になっていて、動かせるのは第 1 行の $2$ だけです。$i=1$ でこれを書き換えると第 1 行が $1,1$、第 2 行が $2$ の盤になり、$1$ と $2$ の個数が入れ替わります。

補題 6.1（Bender–Knuth 対合）✓

$1\le i\lt N$ に対し、$\nu/\lambda$ の半標準盤の集合上の対合 $T\mapsto\beta_i(T)$ で、$\mathrm{wt}(\beta_iT)=s_i\,\mathrm{wt}(T)$（$i$ と $i+1$ の個数の交換）を満たし、$i,i+1$ 以外の数を動かさないものがある。特に $s^{\mathrm{comb}}_{\nu/\lambda}$ は対称多項式である。

証明（補題 6.1）

同じ列に $i$ と $i+1$ が上下に並んでいるとき、それらを 対になった 箱と呼び、それ以外の $i$、$i+1$ の箱を 自由 と呼びます。ある行の $i$ のうち対になったものは左側に、$i+1$ のうち対になったものは右側に集まります。実際、$i$ の箱 $(r,c)$ の真下が $i+1$ なら、その行のより左の $i$ の真下は $i+1$ 以下かつ $i$ より大なので $i+1$ です。$i+1$ についても同様です。よって各行の自由な箱は、$a$ 個の $i$ のあとに $b$ 個の $i+1$ が続く連続した区間をなします。各行でこれを $b$ 個の $i$ と $a$ 個の $i+1$ に書き換えたものを $\beta_i(T)$ とします。

行の単調性は明らかです。列について、自由な $i$ の真上は $i-1$ 以下、真下は（$i+1$ でないので）$i+2$ 以上で、自由な $i+1$ の真上は $i-1$ 以下、真下は $i+2$ 以上なので、書き換えても狭義増加は保たれます。対になった箱と自由な箱の区別も変わらないので、もう一度施すと元に戻ります。なお、歪図形でも上の議論で参照した箱は図形に含まれます（第 $r$ 行は第 $r+1$ 行より左に張り出さないので、対になった $i$ の左にある箱の真下の箱も図形内にあります）。$i$ と $i+1$ の個数は、対になった箱では等しく、自由な箱では行ごとに $a,b$ が入れ替わるので、全体として交換されます。

∎

補題 6.2（まっすぐな図形の Yamanouchi 盤）✓

$\nu$ の（歪でない）半標準盤 $T$ が、すべての $j$ について $\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ が分割（非増加列）であるという条件を満たすなら、$T$ は第 $r$ 行のすべての箱に $r$ を書いた盤 $T^\circ_\nu$ である。

証明（補題 6.2）

右の列から帰納法で示します。第 $j$ 列の長さを $\nu'_j$ とし、第 $j+1$ 列以降は主張どおり（最終列では空の条件）とします。第 $j$ 列の数を $t_1\lt\cdots\lt t_{\nu'_j}$ とすると $t_r\ge r$ で、$r\le\nu'_{j+1}$ では行の単調性から $t_r\le r$ なので $t_r=r$ です。$r\gt\nu'_{j+1}$ で $t_r\gt r$ となる最小の $r$ があったとすると、$r$ は第 $j$ 列にも（長さが $\nu'_{j+1}\lt r$ の）右の列にもないので $\mathrm{wt}(T_{\ge j})_r=0$、一方 $\mathrm{wt}(T_{\ge j})_{t_r}\ge1$ で $t_r\gt r$ なので非増加に反します。

∎

次の定理は、Schur 多項式の積を Schur 多項式の和に展開する規則の核心です。証明の方針は、左辺を盤ごとの交代式の和に開き、条件（右の列から順に足しても $\mu$ が分割のまま）を満たさない盤を、Bender–Knuth 対合で符号が反対の盤と組にして打ち消す、というものです。

定理 6.3（Littlewood–Richardson 則（交代式による形））✓

$\mu$ を長さ $N$ 以下の分割、$\nu/\lambda$ を歪図形とする。$\mathrm{LR}(\nu/\lambda,\mu)$ を、すべての $j$ について $\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ が分割となる $\nu/\lambda$ の半標準盤 $T$ の集合とすると

$$a_{\mu+\delta}\,s^{\mathrm{comb}}_{\nu/\lambda}=\sum_{T\in\mathrm{LR}(\nu/\lambda,\mu)}a_{\mu+\mathrm{wt}(T)+\delta}.$$

証明（定理 6.3）

展開。 $s=s^{\mathrm{comb}}_{\nu/\lambda}$ は対称（補題 6.1）なので

$$a_{\mu+\delta}\,s=\sum_{w\in S_N}\varepsilon(w)\,w\bigl(z^{\mu+\delta}s\bigr)=\sum_T\sum_w\varepsilon(w)\,w\bigl(z^{\mu+\delta+\mathrm{wt}(T)}\bigr)=\sum_Ta_{\mu+\delta+\mathrm{wt}(T)}$$

です。$T\in\mathrm{LR}$ でない盤からの寄与が打ち消し合うことを示します。

符号を反転する対合。 $T\notin\mathrm{LR}$ とし、$\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ が分割でないような最大の $j$ をとります。$\pi=\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j+1})$ は分割で、第 $j$ 列の数の集合を $S$ とすると $\pi+\mathbf1_S$ は分割でないので、$\pi_i+[i\in S]\lt\pi_{i+1}+[i+1\in S]$ となる $i$ があり、これは $\pi_i=\pi_{i+1}$、$i\notin S$、$i+1\in S$ を意味します。そのような最小の $i$ をとると

$$\bigl(\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})\bigr)_i+1=\bigl(\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})\bigr)_{i+1}$$

です。$T^*$ を、$T_{\lt j}$（それ自身が歪図形の半標準盤）に $\beta_i$ を施し、$T_{\ge j}$ はそのままにした盤とします。$T^*$ は半標準盤です。変わるのは第 $j-1$ 列以前の $i,i+1$ だけで、第 $j-1$ 列と第 $j$ 列の境目では、第 $j$ 列に $i$ がないので、第 $j-1$ 列の $i$ が $i+1$ に変わっても右隣（$i+1$ 以上）より大きくなりません。$T^*_{\ge j}=T_{\ge j}$ なので $T^*$ にも同じ $j,i$ が対応し、$T^{**}=T$ です。重さは

$$\mu+\delta+\mathrm{wt}(T^*)=\bigl(\mu+\delta+\mathrm{wt}(T_{\ge j})\bigr)+s_i\,\mathrm{wt}(T_{\lt j})=s_i\bigl(\mu+\delta+\mathrm{wt}(T)\bigr)$$

です。最後の等号は、上の式から $\mu+\delta+\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ の第 $i$ 成分と第 $i+1$ 成分が等しい（$\delta_i=\delta_{i+1}+1$）ことによります。よって $a_{\mu+\delta+\mathrm{wt}(T^*)}=-a_{\mu+\delta+\mathrm{wt}(T)}$ で、$T\notin\mathrm{LR}$ からの寄与は対ごとに打ち消し合います（$T^*=T$ なら寄与は $0$）。

∎

系 6.4（Schur 多項式の組合せ論的表示と Littlewood–Richardson 則）✓

1. $s_\nu=s^{\mathrm{comb}}_\nu=\sum_Tz^{\mathrm{wt}(T)}$（$\nu$ の半標準盤にわたる和）。
2. 長さ $N$ 以下の分割 $\mu,\nu$ について $s_\mu s_\nu=\sum_\lambda c^\lambda_{\mu\nu}s_\lambda$ で、$c^\lambda_{\mu\nu}$ は、$\nu$ の半標準盤 $T$ で $\mathrm{wt}(T)=\lambda-\mu$ かつすべての $j$ について $\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ が分割となるもの（Littlewood–Richardson 盤）の個数である（$\ell(\lambda)\gt N$ の項は $0$）。したがって $\pi_\mu\otimes\pi_\nu\cong\bigoplus_\lambda c^\lambda_{\mu\nu}\pi_\lambda$。
3. Pieri 則: $h_k=s_{(k)}$ について $s_\mu h_k=\sum_\lambda s_\lambda$、和は $\lambda/\mu$ が $k$ 個の箱からなる 水平帯（どの 2 箱も同じ列にない、すなわち $\mu_i\le\lambda_i\le\mu_{i-1}$）であるような $\lambda$ にわたる。

証明（系 6.4）

1: 定理 6.3 で $\lambda=\emptyset$、$\mu=0$ とすると、補題 6.2 から $\mathrm{LR}$ の元は $T^\circ_\nu$ だけ（$\ell(\nu)\le N$ のとき。$\ell(\nu)\gt N$ なら両辺とも $0$）で、$a_\delta s^{\mathrm{comb}}_\nu=a_{\nu+\delta}$ です。

2: 定理 6.3 で $\lambda=\emptyset$ とし、1 を使って $a_\delta$ で割ると $s_\mu s_\nu=\sum_{T\in\mathrm{LR}(\nu,\mu)}s_{\mu+\mathrm{wt}(T)}$ です。表現の主張は、指標の積がテンソル積の指標であることと 系 3.4［指標と SU(2)・SU(N) の表現］ によります。

3: $\nu=(k)$ では $T$ は 1 行 $i_1\le\cdots\le i_k$ で、内容から一意に決まります。右から（大きい数から）足していくとき、数 $i$ をすべて足し終えた時点では $i-1$ 以下はまだ足していないので、$\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ が分割である条件は「各 $i$ について $\lambda_i\le\mu_{i-1}$」に帰着します（途中段階の第 $i+1$ と第 $i$ 成分の比較は $\lambda_{i+1}\le\mu_i$ から従います）。これは $\lambda/\mu$ が水平帯であることです。

∎

LR 盤の条件「すべての $j$ で $\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ が分割」は、$T$ の数を右の列から順に、各列の中では上から下へ読んだ語 $w_1w_2\cdots$ について、どの先頭部分 $w_1\cdots w_m$ を足しても $\mu$ が分割のままである、という条件と同値です（列の中の数は狭義増加なので、列を途中まで足した段階で分割が崩れるなら、列を足し終えても崩れたままです）。教科書によっては「逆読みの語が $\mu$ に関して格子語（Yamanouchi 語）である」と表現されます。$\mu=\emptyset$ のときは $c^\lambda_{\emptyset\nu}=\delta_{\lambda\nu}$ で、補題 6.2 がその内容です。また、LR 盤の個数は $\mu$ と $\nu$ について対称ではないように見えますが、$s_\mu s_\nu=s_\nu s_\mu$ から $c^\lambda_{\mu\nu}=c^\lambda_{\nu\mu}$ が従います。この対称性を組合せ論的に直接示すのは意外に難しく、表現論的な証明の強みが出る箇所です。

例 6.5（LR 係数が 2 になる例）

$c^{(3,2,1)}_{(2,1),(2,1)}$ を求めます。$\nu=(2,1)$ の半標準盤で重さ $(3,2,1)-(2,1,0)=(1,1,1)$ のものは $T_1=\begin{smallmatrix}1&2\\3\end{smallmatrix}$ と $T_2=\begin{smallmatrix}1&3\\2\end{smallmatrix}$ です。$T_1$: 第 2 列 $\lbrace2\rbrace$ を足して $(2,2,0)$、第 1 列 $\lbrace1,3\rbrace$ を足して $(3,2,1)$ でどちらも分割です。$T_2$: $\lbrace3\rbrace$ で $(2,1,1)$、$\lbrace1,2\rbrace$ で $(3,2,1)$ でどちらも分割です。よって $c=2$ で、$SU(3)$ では $(3,2,1)\equiv(2,1,0)$ なので、$\mathbf8\otimes\mathbf8$ に $\mathbf8$ が 2 回現れることに対応します。

7. 演習

演習 7.1易

系 5.2 を使って、$SU(3)$ の Young 図形 $(2,1)$、$(3)$、$(2,2)$ の表現の次元を求めてください。

解答

$N=3$、$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,0)$ では $\dim=\frac{(\lambda_1-\lambda_2+1)(\lambda_1+2)(\lambda_2+1)}{1\cdot2\cdot1}$ です。$(2,1)$: $\frac{2\cdot4\cdot2}2=8$。$(3)$: $\frac{4\cdot5\cdot1}2=10$。$(2,2)$: $\frac{1\cdot4\cdot3}2=6$（$(2,2,0)\equiv(0,0,-2)$ なので $\bar{\mathbf6}$）。

演習 7.2標準

$N\ge k$ とします。$V^{\otimes k}$ の指標 $(z_1+\cdots+z_N)^k$ を Pieri 則で展開し、定理 4.2 と比べて、$\dim S^\lambda$ が形 $\lambda$ の 標準 Young 盤（$1,\dots,k$ を行・列とも狭義増加に書いた盤）の個数 $f^\lambda$ に等しいことを示してください。

解答

$z_1+\cdots+z_N=s_{(1)}=h_1$ で、Pieri 則から $s_\mu h_1=\sum s_\lambda$（$\lambda$ は $\mu$ に箱を 1 つ足した分割）です。$k$ 回繰り返すと、$(z_1+\cdots+z_N)^k=\sum_\lambda f^\lambda s_\lambda$ で、$f^\lambda$ は $\emptyset$ から 1 箱ずつ足して $\lambda$ に至る道の数、すなわち $m$ 番目に足した箱に $m$ を書いた標準盤の個数です。一方 定理 4.2 と 定理 5.1 から $V^{\otimes k}$ の指標は $\sum_\lambda\dim S^\lambda\,s_\lambda$ です（$N\ge k$ ならすべての $\lambda\vdash k$ が現れる）。$s_\lambda$ は線形独立（定理 5.1 の証明 (a) の直交性）なので $\dim S^\lambda=f^\lambda$ です。

演習 7.3標準

定理 6.3 を $\nu=(1^k)$（1 列）に適用して、$e_k=s_{(1^k)}$ について $s_\mu e_k=\sum_\lambda s_\lambda$（$\lambda/\mu$ は $k$ 箱の 垂直帯、すなわちどの 2 箱も同じ行にない）を示してください。

解答

$T$ は 1 列で、数の集合 $S$（$|S|=k$）で決まり、$T_{\ge1}=T$ だけが条件に関わります。条件は $\mu+\mathbf1_S$ が分割であること、すなわち $i\in S$、$i-1\notin S$ なら $\mu_{i-1}\gt\mu_i$ であることで、これは $\lambda=\mu+\mathbf1_S$ について $\lambda/\mu$ が各行に高々 1 箱の垂直帯で $\lambda$ が分割であることと同値です。よって $s_\mu e_k=\sum_{\lambda/\mu\text{ 垂直帯}}s_\lambda$ です。$\mu=\emptyset$ なら $e_k=s_{(1^k)}$ は $k$ 次基本対称式で、$\Lambda^k\mathbb{C}^N$ の指標です。

参考文献

• W. Fulton and J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer GTM 129, 1991 — 第 4, 6, 15 講、付録 A。
• W. Fulton, Young Tableaux, Cambridge University Press, 1997 — 第 2, 5, 8 章。
• I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd ed., Oxford University Press, 1995 — 第 I 章 §3, §5, §9。
• J. R. Stembridge, “A concise proof of the Littlewood–Richardson rule”, Electronic Journal of Combinatorics 9 (2002), Note 5.
• R. Goodman and N. R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants, Springer GTM 255, 2009 — 第 9 章（Schur–Weyl 双対性）。