数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › SU(N) の表現と Young 図形

U(N) の既約表現の分類

定理 5.1（「SU(N) の表現と Young 図形」§5） ・ ✓公理まで証明済み

  1. 非増加な λ∈ZN\lambda\in\mathbb{Z}^N ごとに、指標が TT 上で sλs_\lambda となる U(N)U(N) の既約表現 πλ\pi_\lambda が存在する。λ⊢k\lambda\vdash k、ℓ(λ)≤N\ell(\lambda)\le N なら πλ≅Sλ(CN)\pi_\lambda\cong S_\lambda(\mathbb{C}^N)、一般には πλ≅Sλ−λN1(CN)⊗det⁡λN\pi_\lambda\cong S_{\lambda-\lambda_N\mathbf1}(\mathbb{C}^N)\otimes\det^{\lambda_N} である。
  2. U(N)U(N) の既約表現は、ただ 1 つの πλ\pi_\lambda と同値である。λ\lambda は πλ\pi_\lambda のウェイトのうち辞書式順序で最大のもの（最高ウェイト）である。
  3. πλ\pi_\lambda を SU(N)SU(N) に制限したものは既約で、πλ∣SU(N)≅πμ∣SU(N)\pi_\lambda|_{SU(N)}\cong\pi_\mu|_{SU(N)} は λ−μ∈Z1\lambda-\mu\in\mathbb{Z}\mathbf1 と同値である。SU(N)SU(N) の既約表現はすべてこの形である。したがって SU(N)SU(N) の既約表現は、λN=0\lambda_N=0 の λ\lambda、すなわち行が N−1N-1 本以下の Young 図形と 1 対 1 に対応する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 83 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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