数学 › 多様体論 › 部分多様体と正則値定理

1 の分割の存在

定理 6.3（「部分多様体と正則値定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を滑らかな多様体、 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ を $M$ の開被覆とする。このとき、滑らかな関数の可算族 $\{\rho_j\}_{j\ge1}$ 、 $\rho_j\colon M\to[0,1]$ 、で次を満たすものが存在する。

各 $\operatorname{supp}\rho_j$ はコンパクトで、ある $U_{\alpha(j)}$ に含まれる。
局所有限：各点 $x\in M$ に、有限個の $j$ についてしか $\operatorname{supp}\rho_j$ と交わらない近傍がある。
$\sum_j\rho_j(x)=1$ （各点で有限和）。

これを被覆 $\{U_\alpha\}$ に従属する 1 の分割という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理証明で参照している 18 件

コンパクト台の Mayer–Vietoris 完全列✓補題 6.3・コホモロジーと双対性
複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
(0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
細層は非輪状✓補題 3.2・層コホモロジーと直線束
熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開
接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
法束の分類写像の存在と一意性✓補題 5.4・同境と Pontryagin–Thom 構成
境界の外への延長✓補題 2.2・ハンドル分解と手術
勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術
同時に貼ることと順に貼ること✓補題 5.7・ハンドル分解と手術
境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性
ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
閉多様体上の Sobolev 不等式✓補題 6.3・ポアンカレ予想 II
Weyl の積分公式（U(N)・SU(N)）✓定理 7.1・最高ウェイト理論
微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー

関連するノック 2 問