数学 › 微分幾何学 › 熱核の漸近展開

熱方程式の解の一意性

補題 4.4（「熱核の漸近展開」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 70 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開

  • Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
    • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

      • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
      • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理 この先をたどる →
  • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
• 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
• 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理

  • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
• 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

  • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    • Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
• Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

  • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分

  • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

    • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開
• 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開