符号の基本性質

$n \ge 2$ とし、$\sigma, \tau \in S_n$ とします。このとき次が成り立ちます。

1. 多項式の恒等式として $\Delta(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}) = \mathrm{sgn}(\sigma)\, \Delta(x_1, \ldots, x_n)$。
2. $\mathrm{sgn}(\sigma\tau) = \mathrm{sgn}(\sigma)\,\mathrm{sgn}(\tau)$。また $\mathrm{sgn}(\mathrm{id}) = 1$、$\mathrm{sgn}(\sigma^{-1}) = \mathrm{sgn}(\sigma)$。
3. 任意の互換 $(p\ q)$ に対し $\mathrm{sgn}((p\ q)) = -1$。
4. 任意の $\sigma \in S_n$ は有限個の互換の積として書け、$\sigma$ が $k$ 個の互換の積で書けたならば $\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^k$ である。とくに互換の個数の偶奇は書き方によらない。