数学 › 線形代数学 › 行列式とその性質

転置不変性と三角行列

命題 3.3（「行列式とその性質」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A \in M_n(\mathbb{K})$ について次が成り立ちます。

$\det A^{\mathsf{T}} = \det A$ 。すなわち行列式は転置で不変であり、行について成り立つ性質と列について成り立つ性質は常に対になります。
$A$ が上三角行列（ $i > j$ ならば $a_{ij} = 0$ ）または下三角行列（ $i < j$ ならば $a_{ij} = 0$ ）ならば $\det A = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ である。とくに $\det I_n = 1$ 、対角行列の行列式は対角成分の積である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 16 件

線形変数変換✓補題 5.2・外積代数・Clifford 代数・超代数
MDS 符号の特徴づけ✓定理 5.5・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
aI + bJ の行列式✓補題 4.5・有限幾何とデザイン
対称デザインのブロックの交わり✓系 4.7・有限幾何とデザイン
Cayley–Menger の公式✓定理 8.1・空間座標と空間ベクトル
四面体の外接球と内接球✓命題 10.1・空間座標と空間ベクトル
行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
Kahan の必要条件✓定理 3.5・定常反復法
Young の定理✓定理 4.3・定常反復法
Liouville の公式✓定理 2.3・線形微分方程式系
回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

関連するノック 2 問