Cayley–Menger の公式

定理 8.1（「空間座標と空間ベクトル」§8）・ ✓公理まで証明済み

四面体の体積 $V$ について、 $u_i\cdot u_j=\dfrac{d_{0i}^2+d_{0j}^2-d_{ij}^2}2$ （ $d_{ii}=0$ ）とし、 $G=(u_i\cdot u_j)_{i,j=1,2,3}$ （Gram 行列）とおくと

36V^2=\det G.

さらに、次の $5\times5$ 行列（Cayley–Menger 行列）について

288V^2=\det\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{01}^2&d_{02}^2&d_{03}^2\\1&d_{01}^2&0&d_{12}^2&d_{13}^2\\1&d_{02}^2&d_{12}^2&0&d_{23}^2\\1&d_{03}^2&d_{13}^2&d_{23}^2&0\end{pmatrix}

が成り立つ。したがって体積は 6 つの辺の長さだけで決まる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 66 件、定義なども含めて 76 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
四面体の体積✓定理 7.2・空間座標と空間ベクトル
- 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    逆行列の掃き出し法✓命題 8.7・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 標準単体の体積✓補題 7.1・空間座標と空間ベクトル
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
  - グラム行列式✓系 5.3・行列の固有値評価と不等式
    コーシー・ビネの公式✓定理 5.2・行列の固有値評価と不等式この先をたどる →
  - コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 直線・平面・球面の方程式✓命題 3.1・空間座標と空間ベクトル
  - 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
  - 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 点と平面の距離✓定理 4.1・空間座標と空間ベクトル
  - ピタゴラスの定理✓補題 4.4・内積空間とグラム・シュミット直交化
内積空間定義 3.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）

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等面四面体は直方体に内接する✓定理 11.1・空間座標と空間ベクトル

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閉包の状態

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