高校数学（図形）100 本ノック

高校〜一般100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの平面ベクトル・合同と相似・三角比・円と三角形の名定理・図形と方程式・空間図形・2 次曲線・複素数平面の各章を学んだ高校生〜大学初年級の人。定理の根拠まで確かめたい人向けです。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• 小平邦彦『幾何への誘い』
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited
• R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry
• R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 平面ベクトル
• 10〜19: 合同と相似
• 20〜29: 三角比と計量
• 30〜35: 円の幾何
• 36〜39: 円の名定理
• 40〜47: 五心・チェバ・メネラウス
• 48〜54: 三角形の名定理
• 55〜58: 反転
• 59〜61: 射影幾何の名定理
• 62〜70: 図形と方程式
• 71〜78: 空間ベクトル
• 79〜85: 立体・球面・多面体
• 86〜93: 2 次曲線
• 94〜100: 複素数平面と作図

形式: 単一選択 29・複数選択 16・○× 10・数値 19・並べ替え 7・誤り探し 9・記述 10。難易度 ★〜★★★★: 34 / 44 / 17 / 5。

この冊で使う定義・定理（125）

• 定義 5.1 方べき 円の幾何：円周角・接線・方べきの定理を座標から証明する → 32, 33, 35 番
• 定理 3.4 円周角の定理の逆（4 点が同一円周上にある条件） 円の幾何：円周角・接線・方べきの定理を座標から証明する → 31 番
• 定理 3.5 円に内接する四角形の条件 円の幾何：円周角・接線・方べきの定理を座標から証明する → 31 番
• 定理 3.1 円周角の定理 円の幾何：円周角・接線・方べきの定理を座標から証明する → 30, 34 番
• 定理 5.2 方べきの定理とその逆 円の幾何：円周角・接線・方べきの定理を座標から証明する → 32, 33, 35, 38, 39 番
• 定理 5.3 根軸と根心 円の幾何：円周角・接線・方べきの定理を座標から証明する → 33, 65 番
• 定理 4.3 接弦定理 円の幾何：円周角・接線・方べきの定理を座標から証明する → 34 番
• 命題 8.1 最大視角 円の名定理：Ptolemy・Brahmagupta・Miquel・蝶・折れ弦・Pitot・目玉・最大視角 → 39 番
• 定理 3.1 Brahmagupta の公式 円の名定理：Ptolemy・Brahmagupta・Miquel・蝶・折れ弦・Pitot・目玉・最大視角 → 37 番
• 定理 5.1 蝶の定理 円の名定理：Ptolemy・Brahmagupta・Miquel・蝶・折れ弦・Pitot・目玉・最大視角 → 37 番
• 定理 7.2 目玉の定理 円の名定理：Ptolemy・Brahmagupta・Miquel・蝶・折れ弦・Pitot・目玉・最大視角 → 37 番
• 定理 7.1 Pitot の定理 円の名定理：Ptolemy・Brahmagupta・Miquel・蝶・折れ弦・Pitot・目玉・最大視角 → 37, 38 番
• 定理 2.1 Ptolemy の定理 円の名定理：Ptolemy・Brahmagupta・Miquel・蝶・折れ弦・Pitot・目玉・最大視角 → 36 番
• 系 7.3 三大作図問題と正七角形 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 96 番
• 命題 3.1 共線・直交・正三角形の条件 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 99 番
• 命題 2.2 複素数の積は回転と拡大 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 94 番
• 命題 5.1 複素数で導く三角関数の公式 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 100 番
• 定理 3.2 4 点が同一円周上にある条件（交比） 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 97 番
• 定理 7.2 作図可能な数 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 96, 100 番
• 定理 6.2 離散 Fourier 変換の反転公式 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 98 番
• 定理 4.3 Pompeiu の定理 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 99 番
• 定理 5.2 正多角形の頂点までの距離の積 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 95, 98, 100 番
• 定理 2.3 回転相似 複素数平面と作図：回転・共円・Napoleon の定理から作図可能な数まで → 94 番
• 系 5.6 凸多角形の内角の和と外角の和 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 13, 82 番
• 定義 2.1 等長変換 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 12 番
• 補題 3.3 3 点を移す等長変換の存在 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 16 番
• 命題 7.6 等積変形と面積比 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 45 番
• 命題 5.2 平行線と同位角・錯角 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 15, 17 番
• 命題 7.5 平行四辺形になる条件 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 17 番
• 定理 7.4 角の二等分線の定理 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 14, 47 番
• 定理 3.7 三角形の合同条件（1 辺とその両端の角） 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 10, 17 番
• 定理 8.1 Heron の問題（鏡映による最短経路） 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 18 番
• 定理 2.4 等長変換の分類 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 11, 12, 18 番
• 定理 2.2 等長変換は直交行列と平行移動の合成 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 11, 12 番
• 定理 7.1 平行線と線分の比 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 15 番
• 定理 3.5 三角形の合同条件（2 辺とその夾角） 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 10 番
• 定理 6.3 辺と角の大小関係 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 27 番
• 定理 3.4 三角形の合同条件（3 辺） 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 10, 16 番
• 定理 6.2 三角形の成立条件 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する → 19, 28 番
• 定義 2.1 放物線・楕円・双曲線 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 88 番
• 命題 4.2 接線の方程式 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 93 番
• 定理 6.1 2 次曲線の分類 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 91 番
• 定理 5.2 焦点を原点とする極方程式 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 90 番
• 定理 2.2 標準形と焦点半径 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 86, 87, 88, 90, 93 番
• 定理 7.1 共役直径（Apollonius の定理） 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 92 番
• 定理 7.2 楕円に内接する三角形の最大面積 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 92 番
• 定理 3.1 焦点・準線・離心率 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 86 番
• 定理 4.3 反射の性質 2 次曲線：焦点・準線・離心率・円錐の切り口・極方程式・一般の分類 → 89 番
• 補題 6.4 2 次方程式が閉区間に実数解をもつ条件 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 69 番
• 命題 6.1 半平面 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 68 番
• 命題 3.3 円の接線 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 64 番
• 定理 3.2 円と直線の位置関係 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 63 番
• 定理 6.2 線形の目的関数の最大・最小は頂点で起こる 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 68 番
• 定理 4.2 円の束 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 65 番
• 定理 2.2 点と直線の距離 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 62, 63, 93 番
• 定理 4.1 極と極線 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 66 番
• 定理 7.2 靴ひも公式 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 67 番
• 定理 6.5 通過領域 図形と方程式：直線・円・極線・軌跡・領域・面積と格子点 → 68, 69 番
• 定義 2.2 一般化された円 反転：円と直線を区別しない見方と、Feuerbach・円鎖・Descartes・Monge の定理 → 58 番
• 定義 2.1 円による反転 反転：円と直線を区別しない見方と、Feuerbach・円鎖・Descartes・Monge の定理 → 55, 56, 57, 58 番
• 命題 2.4 反転は交角を保つ 反転：円と直線を区別しない見方と、Feuerbach・円鎖・Descartes・Monge の定理 → 57 番
• 命題 2.5 反転と距離 反転：円と直線を区別しない見方と、Feuerbach・円鎖・Descartes・Monge の定理 → 56 番
• 定理 2.3 反転で円・直線は円・直線に移る 反転：円と直線を区別しない見方と、Feuerbach・円鎖・Descartes・Monge の定理 → 55, 57, 58 番
• 系 7.3 イギリス国旗の定理 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 3 番
• 定義 2.2 内積・長さ・2 次の行列式 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 2, 8, 70 番
• 定義 4.4 向きつきの角 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 1 番
• 命題 4.5 内積・行列式と角 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 1 番
• 命題 5.5 直線と円のベクトル方程式 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 9 番
• 命題 3.1 1 次独立と成分表示の一意性 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 2 番
• 命題 6.2 符号付き面積の性質と三角形の面積 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 46, 70 番
• 定理 4.1 内積の性質 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 2, 4, 6, 7, 8, 16, 18 番
• 定理 7.1 重み付き距離の 2 乗の和（Leibniz の公式） 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 5, 7, 52 番
• 定理 5.4 点の存在範囲と凸結合 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 40 番
• 定理 5.1 内分点・外分点 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 43 番
• 定理 7.4 Varignon の定理 平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で → 4 番
• 定義 5.1 4 点の複比 共線と共点の名定理：Desargues・Pappus・Pascal・Brianchon・複比・Newton–Gauss 線・Morley → 59, 61 番
• 定理 5.2 複比は中心射影で変わらない 共線と共点の名定理：Desargues・Pappus・Pascal・Brianchon・複比・Newton–Gauss 線・Morley → 61 番
• 定理 3.1 Desargues の定理 共線と共点の名定理：Desargues・Pappus・Pascal・Brianchon・複比・Newton–Gauss 線・Morley → 60 番
• 定理 3.2 Pappus の六角形定理 共線と共点の名定理：Desargues・Pappus・Pascal・Brianchon・複比・Newton–Gauss 線・Morley → 60 番
• 定理 4.1 Pascal の定理（円の場合） 共線と共点の名定理：Desargues・Pappus・Pascal・Brianchon・複比・Newton–Gauss 線・Morley → 60 番
• 定義 7.1 正多面体 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 81 番
• 補題 6.5 多面体の球面への中心射影 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 84 番
• 補題 6.6 頂点のまわりの角の和 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 84 番
• 命題 4.1 球の体積 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 85 番
• 定理 3.1 Cavalieri の原理 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 85 番
• 定理 3.2 錐体の体積 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 85 番
• 定理 6.7 Euler の多面体定理 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 80 番
• 定理 5.4 Girard の定理 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 83, 84 番
• 定理 6.4 凸多面体の面の構造 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 80, 84 番
• 定理 7.2 正多面体は 5 種類 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 81 番
• 定理 7.4 正多角形による平面の敷き詰め 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 82 番
• 定理 4.2 球帯の面積（Archimedes） 立体の体積・球面・多面体：Cavalieri の原理から Girard の定理・Euler の多面体定理・Bolyai–Gerwien の定理まで → 79 番
• 定義 2.2 外積 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 73 番
• 補題 2.3 外積の基本性質 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 71, 73, 78 番
• 命題 3.1 直線・平面・球面の方程式 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 72 番
• 命題 2.1 空間の基底 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 73, 78 番
• 命題 10.1 四面体の外接球と内接球 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 77 番
• 定理 8.1 Cayley–Menger の公式 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 76 番
• 定理 4.1 点と平面の距離 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 72, 74, 78 番
• 定理 6.1 正射影の面積 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 75 番
• 定理 7.2 四面体の体積 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 71, 76, 77 番
• 定理 5.1 三垂線の定理 空間座標と空間ベクトル：平面・球面・四面体の体積と Cayley–Menger の公式 → 74 番
• 補題 2.1 重心座標と面積比 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 40 番
• 命題 8.1 重心・内心・外心・垂心が一致するのは正三角形 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 44 番
• 定理 5.1 Ceva の定理とその逆 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 45, 47 番
• 定理 4.3 傍心と傍接円 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 44 番
• 定理 4.2 内心と内接円 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 24, 35, 41, 44 番
• 定理 6.1 Menelaus の定理とその逆 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 43 番
• 定理 3.3 垂心 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 44, 49, 53 番
• 定理 5.2 三角関数形の Ceva の定理 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 42 番
• 定理 7.4 Viviani の定理 三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理：重心座標と符号付き面積で示す → 46 番
• 系 4.3 Steiner 線 三角形の名定理：Euler 線・九点円・Simson 線・Fermat 点・Erdős–Mordell の不等式 → 50 番
• 定理 2.1 Euler 線 三角形の名定理：Euler 線・九点円・Simson 線・Fermat 点・Erdős–Mordell の不等式 → 48 番
• 定理 3.1 Euler の三角形の定理 三角形の名定理：Euler 線・九点円・Simson 線・Fermat 点・Erdős–Mordell の不等式 → 51, 54 番
• 定理 5.2 Fermat 点 三角形の名定理：Euler 線・九点円・Simson 線・Fermat 点・Erdős–Mordell の不等式 → 52 番
• 定理 2.2 九点円 三角形の名定理：Euler 線・九点円・Simson 線・Fermat 点・Erdős–Mordell の不等式 → 48, 49, 53 番
• 定理 4.2 Simson 線とその逆 三角形の名定理：Euler 線・九点円・Simson 線・Fermat 点・Erdős–Mordell の不等式 → 50 番
• 補題 4.1 外接円の存在・一意性と半径の公式 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 22, 24 番
• 命題 6.3 半角公式 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 29 番
• 定理 3.3 三角形の面積公式 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 24, 26, 61, 70 番
• 定理 3.4 Heron の公式 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 22, 24, 26, 29 番
• 定理 3.1 余弦定理 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 20, 21, 26, 27, 28, 29, 70 番
• 定理 4.2 正弦定理 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 23, 27 番
• 定理 7.1 Stewart の定理 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 25 番
• 定理 5.1 2 辺と 1 つの対角から決まる三角形の個数 三角比と三角形の計量：正弦定理・余弦定理から Heron・Bretschneider の公式まで → 10, 20 番