特殊関数と漸近解析 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜5 章（直交多項式から WKB 近似まで）を一通り読み、学部の微積分・線形代数・常微分方程式・複素関数論を学んだ人。定義と主要な定理の仮定の確認を主眼とします。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• G. Szegő, Orthogonal Polynomials, AMS
• G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press
• F. W. J. Olver, Asymptotics and Special Functions, Academic Press
• C. M. Bender and S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜11: 直交多項式と Gauss 求積
• 12〜21: 球面調和関数と Legendre 関数
• 22〜32: Bessel・Airy・Whittaker 関数
• 33〜42: 漸近解析の基本手法
• 43〜50: WKB 近似と Bohr–Sommerfeld

形式: 単一選択 17・複数選択 9・○× 5・数値 7・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 6 / 25 / 18 / 1。

この冊で使う定義・定理（64）

• 定義 2.1 漸近列と漸近展開 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 33, 34 番
• 定義 8.1 Borel 変換と Borel 和 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 42 番
• 例 2.3 Euler の発散級数 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 34, 35, 42 番
• 例 7.3 調和数と Euler 定数 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 38 番
• 演習 9.1 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 36 番
• 補題 7.1 Bernoulli 多項式 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 39 番
• 補題 4.1 複素係数のガウス積分 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 41 番
• 命題 2.2 漸近展開の係数の一意性 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 33, 34 番
• 定理 6.2 Airy 関数の振動の漸近形 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 47 番
• 定理 7.2 Euler–Maclaurin の公式 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 38, 39 番
• 定理 4.2 Laplace の方法（複素位相） 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 37, 40 番
• 定理 5.2 停留位相法 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 41 番
• 定理 3.1 Watson の補題 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 36 番
• 定理 8.2 Watson–Nevanlinna–Sokal の定理 漸近解析：Watson の補題・Laplace の方法・停留位相・鞍点法・Euler–Maclaurin・Borel 総和 → 42 番
• 系 5.4 Kummer 変換 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 30 番
• 定義 4.1 Airy 関数 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 27, 28 番
• 定義 3.6 変形 Bessel 関数 K_ν Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 25, 31 番
• 定義 5.1 Kummer の関数 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 29, 30 番
• 定義 5.7 Whittaker 関数 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 29 番
• 例 3.3 整数次 Bessel 関数の 2 乗和 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 23 番
• 演習 8.2 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 27 番
• 補題 2.1 Legendre の倍数公式 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 32 番
• 命題 4.2 Airy 関数の基本性質 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 26, 27, 28 番
• 命題 3.7 K_ν の基本性質 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 25, 26 番
• 命題 3.1 Bessel 関数の漸化式 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 22, 23 番
• 命題 3.5 J_ν と J_{−ν} の Wronskian Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 23, 24 番
• 定理 6.1 Debye の漸近形（K_ν） Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 31 番
• 定理 3.4 Poisson の積分表示 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 32 番
• 定理 5.8 Whittaker 方程式 Bessel・Airy・Whittaker 関数：積分表示・漸化式・合流型超幾何関数と Debye 漸近形 → 29 番
• 定義 7.1 古典的な重み 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 8, 10 番
• 定義 2.1 測度と内積 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 1, 2 番
• 例 7.4 三項漸化式の具体形 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 3, 7 番
• 例 2.3 区間 [−1,1] 上の一様測度 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 11 番
• 演習 8.2 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 6 番
• 演習 8.1 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 5 番
• 命題 7.3 Legendre 多項式の基本事項 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 3, 16, 21 番
• 定理 6.1 Gauss 求積 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 6, 7, 9, 11 番
• 定理 5.2 零点の交互性 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 5 番
• 定理 2.2 直交多項式の存在と一意性 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 1, 2, 4, 9 番
• 定理 7.2 Rodrigues の公式 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 8, 10 番
• 定理 3.1 三項漸化式 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 2, 3, 4 番
• 定理 5.1 零点は実・単純・台の内側 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 2, 5 番
• 系 4.2 再生核と |𝒫ₗ| ≤ 1 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 14 番
• 系 3.4 軸対称な球面調和関数 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 14, 18, 20 番
• 定義 6.1 球 Bessel 関数 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 19 番
• 例 5.2 Funk–Hecke の固有値 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 16, 17, 21 番
• 演習 8.1 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 13 番
• 補題 3.1 回転に関する固有空間は一次元 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 15 番
• 命題 2.4 次数の違う球面調和関数は直交する 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 14 番
• 命題 6.2 球 Bessel 関数の基本性質 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 19 番
• 命題 3.3 軸対称調和関数は Legendre 多項式 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 15 番
• 定理 4.1 加法定理 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 14, 18 番
• 定理 5.1 Funk–Hecke の定理 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 16, 17, 20, 21 番
• 定理 2.2 調和多項式の分解 球面調和関数と Legendre 関数：調和多項式の分解・加法定理・Funk–Hecke・平面波の部分波展開 → 12, 13 番
• 系 5.2 接続公式（x 変数） WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 47, 49 番
• 系 3.2 x 変数での Liouville–Green 近似 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 43, 45, 50 番
• 定義 4.1 転回点 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 44, 50 番
• 例 3.4 Airy 関数の誤差つき漸近形 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 45 番
• 例 6.2 調和振動子では厳密 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 48 番
• 補題 4.2 Langer 変換 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 44, 46, 50 番
• 補題 2.1 Liouville 変換 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 43 番
• 定理 6.1 Bohr–Sommerfeld の量子化条件 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 48, 49 番
• 定理 5.1 接続公式（Langer 変数） WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 47 番
• 定理 3.1 Liouville–Green 近似の誤差評価 WKB 近似と Liouville–Green 理論：誤差評価・Langer 変換・接続公式・Bohr–Sommerfeld → 45 番