計算機援用証明 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜4 章の内容（IEEE 754 の丸めと区間演算、Gauss 求積、行列の正定値性の検証、固有値の包含）を学んだ修士課程の人。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd ed., SIAM
• R. E. Moore, R. B. Kearfott, M. J. Cloud, Introduction to Interval Analysis, SIAM
• W. Tucker, Validated Numerics, Princeton University Press
• M. T. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe, Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations, Springer

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜15: 浮動小数と区間演算
• 16〜26: 誤差保証つきの求積と関数近似
• 27〜39: 行列計算の認証と最適化の証明書
• 40〜50: 無限次元の固有値の包含

形式: 単一選択 17・複数選択 8・○× 5・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 15 / 28 / 7。

この冊で使う定義・定理（63）

• 定理 5.7 中間値の定理 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 9, 10 番
• 定理 3.3 ラグランジュの平均値の定理 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 9, 10 番
• 定理 5.3 テイラーの定理（ラグランジュの剰余） 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 25 番
• 定理 6.1 ローラン展開 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 23 番
• 定義 7.1 線形計画の主問題と双対問題 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 36 番
• 補題 2.1 成分ごとの評価からノルムの評価へ 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 34 番
• 補題 7.3 半正定値行列の内積 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 37 番
• 命題 3.2 慣性の摂動による移転 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 31 番
• 定理 6.2 Bauer–Fike の定理 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 32, 33 番
• 定理 4.2 Cholesky 分解の後ろ向き誤差 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 29, 34 番
• 定理 3.1 LDLᵀ 分解による慣性の認証 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 27, 28, 38, 39 番
• 定理 7.2 LP の弱双対性と安全な下界 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 36 番
• 定理 6.1 残差による固有値の評価 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 32 番
• 定理 4.3 Rump の正定値性検証 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 29, 30, 34 番
• 定理 7.4 SDP の安全な下界 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 37 番
• 定理 5.1 Sturm 列による固有値の数え上げ 行列計算の認証と最適化の証明書：慣性・Rump の正定値性検証・Sturm 列・双対性 → 28, 35, 38 番
• 例 4.2 モデル問題での Temple の下界 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 41 番
• 演習 8.1 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 42 番
• 補題 5.1 Goerisch の補題 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 43, 44, 48 番
• 補題 6.2 1 次元では Galerkin 射影は節点補間 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 46 番
• 命題 7.1 有界な摂動に対する固有値の安定性 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 45, 50 番
• 命題 7.2 Nyström 行列は補間核の作用素 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 45, 50 番
• 定理 5.2 Lehmann–Goerisch の下界 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 43, 44, 49 番
• 定理 6.3 Galerkin 射影の誤差定数による下界（Liu） 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 46, 47, 49 番
• 定理 3.1 Rayleigh–Ritz の上界（形式版） 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 40, 46, 49 番
• 定理 4.1 Temple の不等式 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界 → 41, 42 番
• 定義 4.8 球と球の演算 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 7, 14 番
• 定義 2.1 2 進浮動小数の集合 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 1 番
• 定義 3.1 γₙ 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 4, 5, 30 番
• 定義 5.1 区間 Newton 作用素 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 8 番
• 定義 2.3 丸め 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 3, 11 番
• 例 2.5 0.1 は 1/10 ではない 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 2 番
• 演習 6.2 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 13 番
• 演習 6.1 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 13 番
• 補題 3.2 誤差因子の積 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 4 番
• 補題 4.7 1 つ外側に動かせば含む 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 2, 11 番
• 補題 2.2 浮動小数の間隔 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 1, 7, 15 番
• 命題 4.2 端点による公式 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 6, 8 番
• 定理 4.9 球算術の包含 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 7, 14 番
• 定理 3.3 内積の丸め誤差 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 5, 13 番
• 定理 4.4 区間演算の包含原理 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 6, 26 番
• 定理 5.2 区間 Newton 法 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 8, 9, 10, 12 番
• 定理 5.3 Krawczyk の定理 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 12 番
• 定理 2.4 丸めの誤差モデル 浮動小数と区間演算：IEEE 754 の丸めモデルから区間 Newton 法まで → 2, 3, 14, 15 番
• 系 3.2 打ち切り誤差 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 18 番
• 定義 2.1 Chebyshev 多項式と Bernstein 楕円 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 16, 19, 21 番
• 例 3.3 Runge の関数と Gauss 関数 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 17 番
• 補題 4.2 Chebyshev 多項式の積分 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 19 番
• 補題 5.2 指数関数の包含 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 22 番
• 補題 4.1 節点と重みの対称性 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 24 番
• 補題 2.2 Joukowski 変換の性質 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 18, 23 番
• 補題 5.1 Taylor 係数の漸化式 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 22, 26 番
• 定理 3.1 Bernstein 楕円と Chebyshev 係数 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 16, 17, 18, 23 番
• 定理 4.3 Gauss–Legendre 求積の誤差の上界 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 20, 21, 24 番
• 定理 5.3 区間 Taylor 法による積分の包含 誤差保証つきの求積と関数近似：Chebyshev 展開・Bernstein 楕円・区間 Taylor 法 → 22, 25 番
• 系 6.5 ミニマックス値の単調性 作用素の収束と摂動：レゾルベント収束・解析摂動・ミニマックス原理 → 50 番
• 系 6.4 Rayleigh–Ritz の上界 作用素の収束と摂動：レゾルベント収束・解析摂動・ミニマックス原理 → 40 番
• 定理 4.2 表現定理 自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理 → 48 番
• 定理 6.1 シルヴェスターの慣性法則 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 27 番
• 定理 3.1 クーラン・フィッシャーの最大最小原理 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 47 番
• 定理 2.2 ゲルシュゴリンの円板定理 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 39 番
• 定理 3.2 ワイルの固有値不等式 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 31, 39 番
• 定理 6.1 Gauss 求積 直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式 → 20, 24 番