無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界

0. この記事の要点

太鼓や弦の振動数、原子のエネルギーは、ある作用素の固有値として決まります。この記事は、その固有値を「$9.8695$ より大きく $9.8698$ より小さい」のように、上と下から厳密に挟む方法の話です。上から押さえるのは易しく、下から押さえるには工夫が要ります。読み終えると、下からの評価がなぜ成り立つのか、そしてそれを有理数の計算だけで確かめる手順が分かります。

• 固有値の上界は易しく、試行関数の張る空間での Rayleigh–Ritz 値がそのまま上界です（ミニマックス原理）。形式の定義域の関数を使えるので、有限要素法の値も上界になります。
• 下界には追加の情報が要ります。Temple の不等式は 1 つの試行関数と「次の固有値の下界 $\nu$」から $\lambda_1\ge\eta-\sigma^2/(\nu-\eta)$ を与えます。
• Lehmann–Goerisch の方法は、シフト $\rho\le\lambda_{N+1}$ と、$-w'=u$ のような補助問題の解 $w$ から作った行列の慣性で、$\lambda_{N+1-k}$ の下界を与えます。慣性は第 3 章の方法で厳密に数えられます。
• 有限要素法では、要素ごとの Poincaré 不等式 $\|v\|\le(h/\pi)\|v'\|$ から Galerkin 射影の誤差定数 $C_h$ が決まり、Liu の不等式 $\lambda_k\ge\lambda_{k,h}/(1+C_h^2\lambda_{k,h})$ が成り立ちます。
• これらを組み合わせると、モデル問題 $-u''=\lambda u$ の $\lambda_1=\pi^2$ を、有理数の計算だけで $9.8695\lt\pi^2\lt9.8698$ と包めます。

この記事で使う事前知識

• 自己共役作用素: 内積についての対称性に定義域まで込めた条件を課した作用素で、固有値が実数になり、固有ベクトルで展開できます。→ 自己共役作用素
• Hilbert 空間: 内積をもち、距離について完備な空間です。関数の空間 $L^2$ が代表例です。→ Hilbert 空間
• ミニマックス値: 固有値を、$n-1$ 個のベクトルに直交する関数の上での Rayleigh 商の下限の、それらのベクトルを動かした上限（最大最小）として表したものです。→ ミニマックス値
• 正定値: 行列 $M$ がすべての $\boldsymbol{x}\ne0$ で $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}M\boldsymbol{x}\gt0$ を満たす性質です。→ 正定値
• 行列の慣性: 対称行列の正・負・零の固有値の個数の組です。LDLᵀ 分解で数えられます。→ 行列計算の認証と最適化の証明書
• Dirichlet ラプラシアンの固有値: 境界で $0$ となる条件のもとでの $-\Delta$ の固有値です。→ Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

1. 動機

量子力学の束縛状態のエネルギーや、弾性体の振動数は、微分作用素の固有値です。厳密な結果を証明するとき、たとえば「2 電子原子の基底状態は束縛されている」「この作用素は $1$ より小さい固有値を 3 個もつ」といった主張には、固有値の上下からの評価が要ります。上からの評価は試行関数を 1 つ選んで Rayleigh 商を計算すれば得られますが、下からの評価はそう簡単ではありません。Rayleigh 商の最小化は「上から近づく」操作だからです。

本章では、Temple（1928）、Lehmann（1949）とその Goerisch による拡張、Liu による有限要素法の下界を、すべて証明つきで扱います。どれもミニマックス原理（作用素の収束と摂動）とスペクトル分解だけから出ます。行列の固有値や慣性の厳密な計算には、第 3 章の方法を使います。

2. 設定

本章を通じて次を仮定します。$\mathcal{H}$ は実 Hilbert 空間、$A$ は $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素で、ある $c\gt0$ について $A\ge c$、かつ固有値 $0\lt\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$（重複度込み）と正規直交固有基底 $\{e_m\}$ をもつとします（計数関数 $N(\lambda;A)$ がすべての $\lambda$ で有限な場合で、Dirichlet ラプラシアンの章の変分原理の直後で述べた状況です）。$A$ に対応する閉形式を $q$、その定義域を $Q=D(A^{1/2})$ とします（定理 4.2［自己共役性の判定］）。$u=\sum_mc_me_m$ と展開すると

$$\|u\|^2=\sum_mc_m^2,\qquad q(u)=\sum_m\lambda_mc_m^2\ (u\in Q),\qquad\|Au\|^2=\sum_m\lambda_m^2c_m^2\ (u\in D(A)),\qquad\langle u,A^{-1}u\rangle=\sum_m\frac{c_m^2}{\lambda_m}$$

です。変分原理（補題 2.2［Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則］）は、$\lambda_k\le\Lambda$ であることと、$Q$ の $k$ 次元部分空間 $F$ で $F$ 上 $q(u)\le\Lambda\|u\|^2$ となるものが存在することの同値性を述べています。

形式 $q$ は、のちのモデル問題では $q(u)=\int_0^1u'^2dx$ というエネルギーにあたり、$Q$ はそのエネルギーが有限になる関数の空間です。$Q$ は $D(A)$ より広く、微分を 1 回しか要求しません。

モデル問題。 $\mathcal{H}=L^2(0,1)$、$Q$ を $[0,1]$ 上絶対連続で $u'\in L^2$、$u(0)=u(1)=0$ を満たす関数の空間（$=H^1_0(0,1)$）、$q(u)=\int_0^1u'^2dx$ とすると、$A=-d^2/dx^2$（Dirichlet 条件）で、固有値は $\lambda_k=k^2\pi^2$、固有関数は $\sqrt2\sin k\pi x$ です（命題 6.2［Sturm–Liouville 問題と Green 関数］）。以下の例はすべてこの問題で、答えを知っている状態で各方法の精度を確かめます。

3. Rayleigh–Ritz の上界

定理 3.1（Rayleigh–Ritz の上界（形式版））✓

$u_1,\ldots,u_n\in Q$ を一次独立とし、$A_0=(q(u_i,u_j))$, $A_1=(\langle u_i,u_j\rangle)$ とする。一般化固有値問題 $A_0\boldsymbol{x}=\Lambda A_1\boldsymbol{x}$ の固有値（Ritz 値）を $\Lambda_1\le\cdots\le\Lambda_n$ とすると、$k=1,\ldots,n$ について $\lambda_k\le\Lambda_k$ である。

証明（定理 3.1）

$A_1$ は正定値なので、$A_1=R^{\mathsf{T}}R$ と分解して対称行列 $R^{-\mathsf{T}}A_0R^{-1}$ を対角化すれば、$\boldsymbol{x}^{(j)\mathsf{T}}A_1\boldsymbol{x}^{(l)}=\delta_{jl}$ を満たす固有ベクトル $\boldsymbol{x}^{(j)}$ がとれます。$v_j=\sum_ix^{(j)}_iu_i$ とおくと $\langle v_j,v_l\rangle=\delta_{jl}$, $q(v_j,v_l)=\Lambda_j\delta_{jl}$ です。$F=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_k\}$ は $k$ 次元で、$v=\sum_{j\le k}a_jv_j$ について $q(v)=\sum_j\Lambda_ja_j^2\le\Lambda_k\|v\|^2$ です。変分原理から $\lambda_k\le\Lambda_k$ です。

∎

試行関数は $D(A)$ でなく形式の定義域 $Q$ から選べます（系 6.4［作用素の収束と摂動］ の形式版）。区分 1 次の有限要素は $Q=H^1_0$ に属するので、有限要素法の固有値は真の固有値の上界です。モデル問題で $u_j=x^j(1-x)$（$j=1,2,3$）とすると、Ritz 値は $\Lambda_1=10$（$n=1$）、$\Lambda_1=9.86975\ldots$（$n=3$）で（Ritz 値は、試行関数の張る空間の中で Rayleigh 商の極値を順に取ったものです）、$\pi^2=9.869604\ldots$ を上から近似します。

4. Temple の下界

定理 4.1（Temple の不等式）✓

$\psi\in D(A)$, $\|\psi\|=1$ とし、$\eta=\langle\psi,A\psi\rangle$, $\sigma^2=\|A\psi\|^2-\eta^2$ とおく。$\nu\le\lambda_2$ かつ $\eta\lt\nu$ ならば

$$\lambda_1\ \ge\ \eta-\frac{\sigma^2}{\nu-\eta}.$$

証明（定理 4.1）

$\psi=\sum_mc_me_m$ とします。各 $m$ で $(\lambda_m-\lambda_1)(\lambda_m-\nu)\ge0$ です（$\lambda_m=\lambda_1$ なら $0$、それ以外は $\lambda_m\ge\lambda_2\ge\nu$ で両因子が非負）。$c_m^2$ を掛けて足すと

$$0\le\sum_m(\lambda_m-\lambda_1)(\lambda_m-\nu)c_m^2=\|A\psi\|^2-(\lambda_1+\nu)\eta+\lambda_1\nu=\sigma^2+(\eta-\lambda_1)(\eta-\nu)$$

です。よって $(\nu-\eta)(\eta-\lambda_1)\le\sigma^2$ で、$\nu-\eta\gt0$ で割れば主張です。

∎

$\sigma^2$ は $\psi$ が固有ベクトルからどれだけずれているかの量で、$\psi$ が固有ベクトルなら $0$ です。下界には2 番目の固有値の下界 $\nu$ が必要です。これが下界の問題の本質で、どの方法も何らかの「先の固有値の情報」を入力に要します。$\nu$ は、より簡単な比較作用素の固有値（系 6.5［作用素の収束と摂動］）や、第 6 節の有限要素法の下界から得ます。

図は並びの感覚を表す概念図です（目盛りは正確ではありません）。試行関数から計算した $\eta$ は $\lambda_1$ の上にあり、$\nu$ は $\lambda_2$ 以下の既知の値です。$\sigma^2$ が小さいほど、下界 $\eta-\sigma^2/(\nu-\eta)$ は $\eta$ のすぐ左に来ます。

Temple の不等式の概念図（目盛りは正確ではない）。η は λ₁ 以上、ν は λ₂ 以下で、下界 η−σ²/(ν−η) は λ₁ の左に来る。

例 4.2（モデル問題での Temple の下界）

$\psi=x(1-x)$ とすると $A\psi=2$ です。$\|\psi\|^2=\tfrac1{30}$, $\langle\psi,A\psi\rangle=\tfrac13$, $\|A\psi\|^2=4$ なので、正規化すると $\eta=10$, $\sigma^2=120-100=20$ です。$\nu=38$（$\le\lambda_2$。第 6 節で示します）とすると $\lambda_1\ge10-\tfrac{20}{28}=9.2857\ldots$ で、$9.2857\le\pi^2\le10$ です。

5. Lehmann–Goerisch の下界

Temple の方法は $\|A\psi\|^2$ を使うので $\psi\in D(A)$ が必要で、有限要素のような $Q$ の関数には使えません。Goerisch は、$\|A\psi\|^2$ の代わりに補助的な問題の解を使う形に Lehmann の方法を拡張しました。次の構造を追加で仮定します。これは、エネルギー $q$ を「何かの関数 $Tu$ の大きさの 2 乗」と見る仮定で、モデル問題では $Tu=u'$ がそれにあたります。

(G) 実 Hilbert 空間 $X$ と線形写像 $T:Q\to X$ があって、$u,v\in Q$ について $q(u,v)=\langle Tu,Tv\rangle_X$ である。

モデル問題では $X=L^2(0,1)$, $Tu=u'$ です。

補題 5.1（Goerisch の補題）✓

(G) のもとで、$u\in\mathcal{H}$ と $w\in X$ がすべての $f\in Q$ について $\langle Tf,w\rangle_X=\langle f,u\rangle$ を満たすならば、$\langle u,A^{-1}u\rangle\le\|w\|_X^2$ である。

証明（補題 5.1）

$g=A^{-1}u\in D(A)\subset Q$ とおくと、表現定理（定理 4.2［自己共役性の判定］ の 1）から $f\in Q$ について $q(f,g)=\langle f,Ag\rangle=\langle f,u\rangle$ です。したがって $\langle Tf,w-Tg\rangle_X=\langle f,u\rangle-q(f,g)=0$ がすべての $f\in Q$ で成り立ち、とくに $f=g$ として $w-Tg\perp Tg$ です。よって

$$\|w\|_X^2=\|Tg\|_X^2+\|w-Tg\|_X^2\ge\|Tg\|_X^2=q(g)=\langle g,Ag\rangle=\langle A^{-1}u,u\rangle.$$∎

モデル問題では、条件は $\int_0^1f'w\,dx=\int_0^1fu\,dx$（$f\in H^1_0$）、すなわち $w'=-u$ です。境界条件は要らないので、$w=-\int_0^xu+\text{定数}$ と積分 1 回で陽に書けます。

次の定理のねらいは、試行関数から作った行列 $G(\Lambda)$ が負の固有値をもつことを確かめるだけで、区間 $(\Lambda,\rho)$ に固有値があると言い切ることです。証明では、$t\le\Lambda$ または $t\ge\rho$ で非負になる関数 $h(t)=(t-\rho)(t-\Lambda)/t$ を使います。固有値が区間の外にしかなければ、$h$ の和が負になることはありえないからです。

定理 5.2（Lehmann–Goerisch の下界）✓

(G) を仮定し、$\rho\gt0$ と $N\ge1$ が $\rho\le\lambda_{N+1}$ を満たすとする。$u_1,\ldots,u_n\in Q$ と $w_1,\ldots,w_n\in X$ が、各 $i$ ですべての $f\in Q$ について $\langle Tf,w_i\rangle_X=\langle f,u_i\rangle$ を満たすとし、

$$A_0=(q(u_i,u_j)),\quad A_1=(\langle u_i,u_j\rangle),\quad A_2=(\langle w_i,w_j\rangle_X),\quad G(\Lambda)=A_0-(\rho+\Lambda)A_1+\rho\Lambda A_2$$

とおく。$0\lt\Lambda\lt\rho$ で、$G(\Lambda)$ が負の固有値を（重複度込みで）$k$ 個以上もつ（$k\le N$）ならば、$\lambda_{N+1-k}\gt\Lambda$ である。

証明（定理 5.2）

$G(\Lambda)$ の負の固有値の固有ベクトルが張る空間を $V\subset\mathbb{R}^n$ とすると、$\dim V\ge k$ で、$\boldsymbol{x}\in V\setminus\{0\}$ なら $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}G(\Lambda)\boldsymbol{x}\lt0$ です。$\boldsymbol{x}$ に対し $u=\sum x_iu_i=\sum_mc_me_m$, $w=\sum x_iw_i$ とおくと、$u$ と $w$ も 補題 5.1 の条件を満たします。$h(t)=(t-\rho)(t-\Lambda)/t=t-(\rho+\Lambda)+\rho\Lambda/t$ とすると、第 2 節の展開と 補題 5.1（$\rho\Lambda\gt0$）から

$$\sum_mh(\lambda_m)c_m^2=q(u)-(\rho+\Lambda)\|u\|^2+\rho\Lambda\langle u,A^{-1}u\rangle\le\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}G(\Lambda)\boldsymbol{x}\lt0$$

です。$P$ を固有値が開区間 $(\Lambda,\rho)$ に入る固有ベクトルの張る空間への直交射影とします。$h(t)\ge0$ は $t\le\Lambda$ または $t\ge\rho$ で成り立つので、$Pu=0$ なら左辺は $0$ 以上となって矛盾します。よって $\boldsymbol{x}\mapsto Pu$ は $V$ 上で単射で、$\dim\operatorname{Ran}P\ge k$、つまり $(\Lambda,\rho)$ に固有値が重複度込みで $k$ 個以上あります。$\rho$ より小さい固有値は $\lambda_1,\ldots,\lambda_M$（$M\le N$）なので、その上位 $k$ 個が $\Lambda$ より大きく、$\lambda_{N+1-k}\ge\lambda_{M+1-k}\gt\Lambda$ です。

∎

$G(\Lambda)$ の慣性は、有理数なら LDLᵀ 分解で厳密に、浮動小数なら第 3 章の方法で検証できます。最良の $\Lambda$ は一般化固有値問題で求まります。

系 5.3（Lehmann–Goerisch の公式）✓

定理 5.2 の状況で、$D=A_0-2\rho A_1+\rho^2A_2$ が正定値であるとし、$(A_0-\rho A_1)\boldsymbol{x}=\mu D\boldsymbol{x}$ の固有値を $\mu_1\le\cdots\le\mu_n$ とする。$\mu_k\lt0$（$k\le N$）ならば

$$\lambda_{N+1-k}\ \ge\ \rho-\frac{\rho}{1-\mu_k}.$$

証明（系 5.3）

右辺を $\Lambda_k$ とおきます。$\Lambda_k=-\rho\mu_k/(1-\mu_k)\in(0,\rho)$ です。$0\lt\Lambda\lt\Lambda_k$ とし、$\theta=\Lambda/\rho$ とおくと、直接の計算で $G(\Lambda)=(1-\theta)(A_0-\rho A_1)+\theta D$ です。$\mu_1,\ldots,\mu_k$ の固有ベクトルが張る $k$ 次元空間の $\boldsymbol{x}\ne0$ では $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}(A_0-\rho A_1)\boldsymbol{x}\le\mu_k\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}D\boldsymbol{x}$（定理 3.1 の証明と同じく $D$ で正規直交化して展開）なので、

$$\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}G(\Lambda)\boldsymbol{x}\le\bigl((1-\theta)\mu_k+\theta\bigr)\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}D\boldsymbol{x}\lt0$$

です（$(1-\theta)\mu_k+\theta\lt0$ は $\theta\lt-\mu_k/(1-\mu_k)$、すなわち $\Lambda\lt\Lambda_k$ と同値）。$G(\Lambda)$ は $k$ 次元空間上で負定値なので、最大最小原理（定理 3.1［行列の固有値評価と不等式］）から負の固有値を $k$ 個以上もちます。定理 5.2 から $\lambda_{N+1-k}\gt\Lambda$ で、$\Lambda\uparrow\Lambda_k$ として主張を得ます。

∎

固有値の包含の構図。Rayleigh–Ritz 値は上から、Lehmann–Goerisch の値は下から λ₁ に近づく。下界には、λ₂ 以下と分かっているシフト ρ が必要になる。

例 5.4（π² を有理数で包む）

モデル問題で $u=x(1-x)$ の 1 つだけを使います。$w'=-u$ で平均 $0$ の $w=\tfrac1{12}-\tfrac{x^2}2+\tfrac{x^3}3$ をとると、$A_0=\tfrac13$, $A_1=\tfrac1{30}$, $A_2=\|w\|^2=\tfrac{17}{5040}$ です。$\rho=38$ とすると $A_0-\rho A_1=-\tfrac{14}{15}$, $D=\tfrac{673}{252}$, $\mu_1=-\tfrac{1176}{3365}$ で、系 5.3 から

$$\lambda_1\ge38-\frac{38\cdot3365}{4541}=\frac{44688}{4541}=9.8410\ldots$$

です。同じ試行関数の Temple の下界 $9.2857$（例 4.2）よりずっと良くなります。試行関数を $x^j(1-x)$（$j=1,2,3$）に増やし、定理 5.2 と 定理 3.1 の条件を有理数の LDLᵀ 分解で確かめます。

from fractions import Fraction as Fr

def mul(a, b):                                       # 多項式（有理数の係数リスト）の積
    r = [Fr(0)] * (len(a) + len(b) - 1)
    for i, x in enumerate(a):
        for j, y in enumerate(b):
            r[i + j] += x * y
    return r
def deriv(a): return [k * a[k] for k in range(1, len(a))]
def integ01(a): return sum(c / (k + 1) for k, c in enumerate(a))      # ∫_0^1
def ip(a, b): return integ01(mul(a, b))

def goerisch_w(u):                                   # w' = -u, ∫_0^1 w = 0
    w = [Fr(0)] + [-c / (k + 1) for k, c in enumerate(u)]
    w[0] -= integ01(w)
    return w

def negative_pivots(G):                              # 負のピボットの個数 = 負の固有値の個数
    n, G = len(G), [row[:] for row in G]
    neg = 0
    for j in range(n):
        d = G[j][j]
        assert d != 0, "ピボットが 0（Λ を変えて再試行）"
        neg += d < 0
        for i in range(j + 1, n):
            l = G[i][j] / d
            for k in range(j + 1, n):
                G[i][k] -= l * G[j][k]
    return neg

n, rho = 3, Fr(38)                                   # rho <= λ_2 は第 6 節で示す
U = [mul([Fr(0)] * j + [Fr(1)], [Fr(1), Fr(-1)]) for j in range(1, n + 1)]   # x^j (1 - x)
W = [goerisch_w(u) for u in U]
A0 = [[ip(deriv(a), deriv(b)) for b in U] for a in U]
A1 = [[ip(a, b) for b in U] for a in U]
A2 = [[ip(a, b) for b in W] for a in W]

lo, hi = Fr(98695, 10000), Fr(98698, 10000)
G = [[A0[i][j] - (rho + lo) * A1[i][j] + rho * lo * A2[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]
R = [[A0[i][j] - hi * A1[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]
print(negative_pivots(G), negative_pivots(R))        # 出力: 1 1

$G(\mathrm{lo})$ が負の固有値をもつので 定理 5.2（$N=k=1$）から $\lambda_1\gt9.8695$、$A_0-\mathrm{hi}\,A_1$ が負の固有値をもつので $q(u)\lt\mathrm{hi}\,\|u\|^2$ となる $u$ があり、変分原理から $\lambda_1\lt9.8698$ です。計算はすべて有理数で厳密なので、$9.8695\lt\pi^2\lt9.8698$ が証明されました（浮動小数で最適化すると、下界 $9.869563$、上界 $9.869750$ です）。

6. 有限要素法の下界と要素ごとの Poincaré 不等式

補題 6.1（要素ごとの Poincaré 不等式）✓

$v$ が $[a,a+h]$ で絶対連続、$v'\in L^2$、$v(a)=v(a+h)=0$ ならば $\displaystyle\int_a^{a+h}v^2\,dx\le\Bigl(\frac h\pi\Bigr)^2\int_a^{a+h}v'^2\,dx$ である。定数 $h/\pi$ は最良である。

証明（補題 6.1）

$a=0$ としてかまいません。$\varphi_k=\sqrt{2/h}\sin(k\pi x/h)$ は $L^2(0,h)$ の正規直交基底（命題 6.2［Sturm–Liouville 問題と Green 関数］）、$\psi_k=\sqrt{2/h}\cos(k\pi x/h)$（$k\ge1$）は正規直交系です。$v\psi_k$ は絶対連続なので、微積分学の基本定理（定理 6.9［符号付き測度と Radon–Nikodym の定理］）と $v(0)=v(h)=0$ から部分積分ができ、$\langle v',\psi_k\rangle=-\langle v,\psi_k'\rangle=\frac{k\pi}h\langle v,\varphi_k\rangle$ です。Parseval の等式と Bessel の不等式（定理 6.2［Hilbert 空間の基礎］）から

$$\|v\|^2=\sum_k\langle v,\varphi_k\rangle^2\le\Bigl(\frac h\pi\Bigr)^2\sum_k\Bigl(\frac{k\pi}h\Bigr)^2\langle v,\varphi_k\rangle^2=\Bigl(\frac h\pi\Bigr)^2\sum_k\langle v',\psi_k\rangle^2\le\Bigl(\frac h\pi\Bigr)^2\|v'\|^2$$

です。$v=\varphi_1$ で等号が成り立ちます。

∎

$[0,1]$ を幅 $h=1/m$ の要素に分け、各要素で 1 次式の連続関数で両端 $0$ のものの空間を $V_h\subset Q$ とします。$u\in Q$ の節点補間（各節点で $u$ と同じ値をとる区分 1 次関数）を $I_hu\in V_h$ と書きます。

補題 6.2（1 次元では Galerkin 射影は節点補間）✓

$u\in Q$, $v_h\in V_h$ について $q(u-I_hu,v_h)=0$ である。さらに $\|u-I_hu\|\le\frac h\pi\,q(u-I_hu)^{1/2}$ である。

証明（補題 6.2）

$v_h'$ は各要素 $e=[x_{i-1},x_i]$ で定数 $s_e$ なので、$q(u-I_hu,v_h)=\sum_es_e\int_e(u-I_hu)'dx=\sum_es_e\bigl[(u-I_hu)(x_i)-(u-I_hu)(x_{i-1})\bigr]=0$ です（節点で $u=I_hu$）。後半は、$u-I_hu$ が各要素の両端で $0$ なので、補題 6.1 を要素ごとに使って足し合わせれば得られます。

∎

次の定理のねらいは、有限要素法の Ritz 値 $\lambda_{k,h}$ を、射影の誤差定数 $C_h$ だけで真の固有値の下界に直すことです。証明は 2 つの場合に分かれます。固有関数の張る空間に、射影すると $0$ になる関数があれば、誤差定数の仮定から直接 $\lambda_k$ が大きいと分かります。なければ、射影した像が $V_h$ の $k$ 次元部分空間になり、そこへ最大最小原理を使えます。

定理 6.3（Galerkin 射影の誤差定数による下界（Liu））✓

第 2 節の設定で、$V_h\subset Q$ を有限次元部分空間、$P_h:Q\to V_h$ を $q$ に関する直交射影とし、すべての $u\in Q$ について $\|u-P_hu\|\le C_h\,q(u-P_hu)^{1/2}$（$C_h\gt0$）とする。$V_h$ での Ritz 値を $\lambda_{1,h}\le\lambda_{2,h}\le\cdots$ とすると、$k\le\dim V_h$ について

$$\lambda_k\ \ge\ \frac{\lambda_{k,h}}{1+C_h^2\lambda_{k,h}}.$$

証明（定理 6.3）

$E_k=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_k\}$ とすると、$u\in E_k$ で $q(u)\le\lambda_k\|u\|^2$ です。右辺を $\phi(\lambda_{k,h})$, $\phi(t)=t/(1+C_h^2t)$ と書くと $\phi(t)\lt C_h^{-2}$ です。

$P_hu=0$ となる $u\in E_k\setminus\{0\}$ があれば、$\|u\|\le C_hq(u)^{1/2}\le C_h\sqrt{\lambda_k}\|u\|$ から $\lambda_k\ge C_h^{-2}\gt\phi(\lambda_{k,h})$ です。

そうでなければ $P_hE_k$ は $V_h$ の $k$ 次元部分空間で、有限次元の最大最小原理（定理 3.1［行列の固有値評価と不等式］。$V_h$ の正規直交基底で $q$ を行列にして使う）から、$q(P_hu)\ge\lambda_{k,h}\|P_hu\|^2$ となる $u\in E_k\setminus\{0\}$ があります。$\alpha^2=q(u-P_hu)$, $\beta^2=q(P_hu)$ とおくと、直交性から $q(u)=\alpha^2+\beta^2$ です。三角不等式と Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\|u\|\le\|P_hu\|+\|u-P_hu\|\le\frac{\beta}{\sqrt{\lambda_{k,h}}}+C_h\alpha\le\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,\sqrt{\lambda_{k,h}^{-1}+C_h^2},$$

したがって $\|u\|^2\le q(u)\,(\lambda_{k,h}^{-1}+C_h^2)\le\lambda_k\|u\|^2(\lambda_{k,h}^{-1}+C_h^2)$ で、$\|u\|^2\gt0$ で割れば $\lambda_k\ge\phi(\lambda_{k,h})$ です。

∎

モデル問題の区分 1 次要素では 補題 6.2 から $C_h=h/\pi$ です。離散固有値は $\lambda_{k,h}=\frac6{h^2}\cdot\frac{1-\cos k\pi h}{2+\cos k\pi h}$ と陽に書け、定理 3.1 の上界と合わせて次の包含が得られます。

要素数 $m$ を増やすと、$\lambda_1$ の上界と下界がどう $\pi^2$ を挟み込むかを動画で見てみましょう。

m を 4 から 64 まで増やしたときの λ₁ の上界（Rayleigh–Ritz）と下界（Liu）。区間は π² を含んだまま狭まる。

$m=1/h$	$\lambda_1$ の下界	$\lambda_1$ の上界	$\lambda_2$ の下界	$\lambda_2$ の上界
8	9.8413	9.9971	38.982	41.547
16	9.8627	9.9014	39.365	39.988
64	9.8692	9.8716	39.472	39.510

例 5.4 で使った $\rho=38\le\lambda_2$ は、この表から得られます。表の値自体を厳密にするには、$\phi$ が増加関数なので $\lambda_{2,h}$ の下界があれば足ります。$m=16$ では、$\lambda_{2,h}$ が三重対角の一般化固有値問題 $K\boldsymbol{x}=\lambda M\boldsymbol{x}$（$K=\frac1h\mathrm{tridiag}(-1,2,-1)$, $M=\frac h6\mathrm{tridiag}(1,4,1)$）の固有値なので、$K-\tfrac{399}{10}M$ の負のピボットを有理数で数えると 1 個、すなわち $\lambda_{2,h}\ge39.9$ です（第 3 章の Sturm 列）。$\pi\gt3.14$ から $C_h^2\le(1/(16\cdot3.14))^2$ として $\lambda_2\ge\phi(39.9)\ge39.27\gt38$ が、有理数の計算だけで出ます。

有限要素法の下界は、すべての $k$ に同時に使え、補助関数 $w$ も要らないのが利点です。多次元では節点補間は Galerkin 射影にならないので、Crouzeix–Raviart 要素など別の射影と、その誤差定数の評価を組み合わせます（Liu の論文）。

7. 積分作用素と Nyström 法

積分作用素 $(Kf)(x)=\int_{-1}^1k(x,y)f(y)\,dy$（$k$ は連続で $k(x,y)=k(y,x)$）の固有値は、第 2 章の求積と組み合わせて包めます。この方法を Nyström 法といい、積分を求積公式の節点での和に置き換えて、積分作用素を行列で近似します。$\mu_n$ をミニマックス値（定義 6.1［作用素の収束と摂動］）とします。

命題 7.1（有界な摂動に対する固有値の安定性）✓

$K$, $\widetilde K$ を無限次元 Hilbert 空間上の有界自己共役作用素とすると、すべての $n$ で $|\mu_n(K)-\mu_n(\widetilde K)|\le\|K-\widetilde K\|$ である。

証明（命題 7.1）

$\varepsilon=\|K-\widetilde K\|$ とすると $\langle\psi,K\psi\rangle\le\langle\psi,(\widetilde K+\varepsilon)\psi\rangle$ なので、系 6.5［作用素の収束と摂動］ から $\mu_n(K)\le\mu_n(\widetilde K+\varepsilon)=\mu_n(\widetilde K)+\varepsilon$ です（定義から定数のずれはそのまま $\mu_n$ に出ます）。$K$ と $\widetilde K$ を入れ替えれば逆向きです。

∎

命題 7.2（Nyström 行列は補間核の作用素）✓

$x_i$, $w_i$ を $n$ 点 Gauss–Legendre 求積の節点と重み、$\ell_i$ を Lagrange 基底とし、$\tilde k(x,y)=\sum_{i,j}k(x_i,x_j)\ell_i(x)\ell_j(y)$ とする。$\tilde k$ を核とする作用素 $\widetilde K$ の $0$ でない固有値は、重複度も込めて、Nyström 行列 $\bigl(\sqrt{w_i}\,k(x_i,x_j)\sqrt{w_j}\bigr)_{i,j}$ の $0$ でない固有値に一致する。

証明（命題 7.2）

$\ell_i\ell_j$ は $2n-2$ 次なので Gauss 求積は厳密で（定理 6.1［直交多項式］）、$\langle\ell_i,\ell_j\rangle=\sum_mw_m\ell_i(x_m)\ell_j(x_m)=w_i\delta_{ij}$ です。よって $g_i=\ell_i/\sqrt{w_i}$ は $V=\operatorname{span}\{\ell_i\}$ の正規直交基底です。$\widetilde Kf=\sum_i\ell_i\sum_jk(x_i,x_j)\langle\ell_j,f\rangle$ なので $\widetilde K$ は $V^\perp$ 上で $0$、$V$ を $V$ に写し、$\widetilde Kg_j=\sum_ig_i\sqrt{w_i}\,k(x_i,x_j)\sqrt{w_j}$ です。したがって $\widetilde K$ は $V$ 上で Nyström 行列が表す作用素と $V^\perp$ 上の $0$ の直和です。

∎

Cauchy–Schwarz の不等式から $\|K-\widetilde K\|\le\|k-\tilde k\|_{L^2([-1,1]^2)}\le2\sup|k-\tilde k|$ なので、命題 7.1 により、Nyström 行列の固有値（第 3 章の方法で包む）と核の補間誤差の上界を足せば、$K$ の固有値の包含になります。補間誤差の上界は本章では扱いません。解析的な核なら、第 2 章の Chebyshev 係数の減衰と補間の Lebesgue 定数の評価を組み合わせて得られます。

8. 演習

演習 8.1易

（Weinstein の包含）定理 4.1 の記号で、$|\lambda_m-\eta|\le\sigma$ を満たす固有値 $\lambda_m$ が存在することを示し、例 4.2 の $\psi$ に適用せよ。

解答

$\sigma^2=\|A\psi\|^2-\eta^2=\sum_m(\lambda_m-\eta)^2c_m^2\ge\min_m(\lambda_m-\eta)^2\sum_mc_m^2=\min_m(\lambda_m-\eta)^2$ です（$\sum_m\lambda_mc_m^2=\eta$, $\sum c_m^2=1$ を使って展開）。$\eta=10$, $\sigma=\sqrt{20}\approx4.47$ なので $[5.53,14.47]$ に固有値があります。$\nu$ を使わない代わりに、Temple の下界 $9.29$ よりずっと粗くなります。

演習 8.2標準

例 5.4 の $w=\tfrac1{12}-\tfrac{x^2}2+\tfrac{x^3}3$ が $w'=-x(1-x)$ を満たし、$\|w\|^2=\tfrac{17}{5040}$ であることを確かめよ。また、平均 $0$ の $w$ を選ぶと $A_2$ が最小になる理由を説明せよ。

解答

$w'=-x+x^2=-x(1-x)$ です。$\int_0^1w=\tfrac1{12}-\tfrac16+\tfrac1{12}=0$ です。$\|w\|^2=\int_0^1(\tfrac1{12}-\tfrac{x^2}2+\tfrac{x^3}3)^2dx$ を展開すると、$\tfrac1{144}+\tfrac1{20}+\tfrac1{63}-\tfrac1{36}+\tfrac1{72}-\tfrac1{18}$ で、分母を $5040$ にそろえると $\tfrac{35+252+80-140+70-280}{5040}=\tfrac{17}{5040}$ です。$w$ に定数 $C$ を足しても条件 $w'=-u$ は保たれ、$\|w+C\|^2=\|w\|^2+2C\int w+C^2$ は $\int w=0$ のとき $C=0$ で最小です。実際、$T(Q)=\{g\in L^2:\int g=0\}$ なので、平均 $0$ の $w$ は 補題 5.1 の証明の $Tg$ そのもので、不等式は等号になります。

演習 8.3標準

$m=8$ の区分 1 次要素で $\lambda_{1,h}=9.9971\ldots$ である。定理 6.3 から $\lambda_1$ の下界を計算し、表の値と照合せよ。

解答

$C_h=\frac1{8\pi}$ なので $C_h^2\lambda_{1,h}=\frac{9.9971}{64\pi^2}\approx0.015826$ で、$\lambda_1\ge\frac{9.9971}{1.015826}\approx9.8413$ です。上界 $9.9971$ と合わせて $9.8413\le\pi^2\le9.9971$ です。$h$ を半分にすると上下の幅はおよそ $1/4$ になり、どちらも $O(h^2)$ で収束することが表から読み取れます。

参考文献

• G. Temple, “The theory of Rayleigh’s principle as applied to continuous systems”, Proceedings of the Royal Society of London A 119 (1928).
• A. Weinstein, W. Stenger, Methods of Intermediate Problems for Eigenvalues, Academic Press, 1972 — Rayleigh–Ritz、Temple、Weinstein の方法。
• H. Behnke, F. Goerisch, “Inclusions for eigenvalues of selfadjoint problems”, in J. Herzberger (ed.), Topics in Validated Computations, North-Holland, 1994 — Lehmann–Goerisch の方法。
• X. Liu, “A framework of verified eigenvalue bounds for self-adjoint differential operators”, Applied Mathematics and Computation 267 (2015).
• M. T. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe, Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations, Springer, 2019 — 固有値の包含と計算機援用証明の全体像。
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1978 — 第 XIII.1 節（ミニマックス原理）。