計算機援用証明

数学修士無料 4 章有料 0 章

浮動小数と区間演算、誤差保証つきの求積、行列計算の認証、無限次元の固有値の包含を扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）・数学や物理を深く学びたい人

前提テーマ:線形代数学、解析学（実解析）、特殊関数と漸近解析、関数解析と作用素論

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章浮動小数と区間演算無料IEEE 754 の浮動小数の丸めを u = 2⁻⁵³ の誤差モデルにまとめ、Higham の γₙ による内積の誤差評価、区間演算と球算術の包含原理、nextafter による外向き丸め、区間 Newton 法による解の存在と一意性の証明までを扱う。
2. 第 2 章誤差保証つきの求積と関数近似無料解析関数の Chebyshev 係数が Bernstein 楕円の大きさで幾何級数的に減衰することを Laurent 展開から証明し、Gauss–Legendre 求積の誤差の上界を導く。さらに Taylor 係数の漸化式と区間演算で、積分を含む区間を四則だけから計算する。
3. 第 3 章行列計算の認証と最適化の証明書無料LDLᵀ 分解と Sylvester の慣性法則による正定値性の認証、Cholesky 分解の丸め誤差解析に基づく Rump の検証法、Sturm 列による固有値の数え上げ、Weyl・Bauer–Fike の事後評価、LP・SDP の弱双対性による最適値の厳密な下界を証明する。
4. 第 4 章無限次元の固有値の包含無料自己共役作用素の固有値を上下から厳密に挟む方法を証明する。Rayleigh–Ritz の上界、Temple の不等式、Goerisch の補題による Lehmann–Goerisch の下界、要素ごとの Poincaré 不等式に基づく有限要素法の下界、Nyström 法と核の摂動を扱い、π² を有理数計算だけで包む。