特殊関数と漸近解析

数学学部無料 5 章有料 0 章

直交多項式、球面調和関数、Bessel・Airy・Whittaker 関数、漸近解析、WKB 近似を扱う。

想定読者: 大学生（理系）

前提テーマ:複素関数論、常微分方程式

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章直交多項式無料測度に対する直交多項式の三項漸化式と Christoffel–Darboux 公式を証明し、零点の実単純性と交互性、Gauss 求積とヤコビ行列を導く。Hermite・Laguerre・Legendre・Jacobi は Rodrigues 公式で統一的に扱う。
2. 第 2 章球面調和関数と Legendre 関数無料R^3 の同次調和多項式の直和分解から球面調和関数を構成し、軸対称な場合の Legendre 多項式、加法定理、Funk–Hecke の定理を証明する。球 Bessel 関数を導入して平面波の部分波展開も示す。
3. 第 3 章Bessel・Airy・Whittaker 関数無料Bessel 関数の漸化式と Bessel・Poisson の積分表示、Airy 関数の複素積分表示、Kummer・Tricomi の合流型超幾何関数と Whittaker 関数を証明つきで導き、Debye の大次数漸近形と Olver 型の誤差評価まで進む。
4. 第 4 章漸近解析無料Watson の補題と Laplace の方法を証明し、停留位相法・鞍点法で Bessel 関数と Airy 関数の振動の漸近形を導く。Euler–Maclaurin の公式から複素扇形での Stirling の公式を誤差つきで示し、Borel 総和と Watson–Nevanlinna–Sokal の定理まで進む。
5. 第 5 章WKB 近似と Liouville–Green 理論無料Liouville 変換と Volterra 型積分方程式で Liouville–Green（WKB）近似の誤差を明示的に評価し、転回点を Langer 変換で Airy 方程式に帰着させて接続公式を証明する。その帰結として Bohr–Sommerfeld の量子化条件を導く。