常微分方程式

数学学部無料 6 章有料 0 章

初等解法から、解の存在と一意性、線形系、級数解、Sturm–Liouville 問題、安定性までを扱う。

想定読者: 大学生（理系）

前提テーマ:微分積分学、線形代数学、解析学（実解析）

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章初等解法と解の概念無料変数分離形・1 階線形・完全微分方程式と積分因子を、解の公式だけでなく存在と一意性の範囲まで含めて証明し、最大解という概念で「どこまで解が延びるか」を定式化する。
2. 第 2 章解の存在と一意性無料初期値問題の局所解の存在をBanachの不動点定理とEuler折れ線とArzelà–Ascoliで、一意性と連続・微分可能依存性をGronwallの不等式で証明し、解の延長とVolterra積分方程式までを扱う。
3. 第 3 章線形微分方程式系無料線形系 x' = A(t)x の解空間が n 次元であることから基本解行列とLiouvilleの公式を導き、定数変化法と行列指数関数、周期係数に対するFloquetの定理とHill方程式の安定性判定を証明する。
4. 第 4 章級数解と確定特異点無料解析的な係数の線形2階方程式の冪級数解が係数と同じ収束半径をもつことを優級数で示し、確定特異点でのFrobenius法と決定方程式を証明して、Bessel・Legendre・Hermite方程式の解を導く。
5. 第 5 章Sturm–Liouville 問題と Green 関数無料区間上の2階線形固有値問題について、Sturmの比較定理とPrüfer変換による振動定理（n番目の固有関数は零点をn−1個もつ）、Green関数の構成、コンパクト自己共役作用素を経由した固有関数展開の完備性を証明する。
6. 第 6 章安定性・力学系・特性曲線法無料平衡点の安定性をLyapunov関数と線形化で判定し、平面力学系のPoincaré–Bendixsonの定理を証明する。1階偏微分方程式を特性曲線で常微分方程式に帰着させ、Cauchy–Kovalevskayaの定理を優級数法で示す。