線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法

0. この記事の要点

ばねの振動や電気回路のように、いくつかの量が互いに影響し合いながら時間とともに変わる様子は、連立の微分方程式で表されます。その中でも「量の和や定数倍がまた解になる」性質をもつ線形な連立方程式は、解の全体を完全に見通すことができます。この記事は、その見通しの立て方を順に追います。係数が一定のときの解の書き方、係数が周期的に変わるときに解がどう振る舞うか、そして微分方程式を掛け算に直す Laplace 変換までを読み終えると、与えられた線形系の解の形と、時間が経ったときに大きくなるか小さくなるかを判断できるようになります。

• 線形系 $x'=A(t)x$ の解全体は $n$ 次元ベクトル空間をなし、$n$ 個の一次独立な解を並べた基本解行列 $\Phi(t)$ がすべてを決めます。非斉次項があるときは定数変化法で解けます。
• Liouville の公式 $\det\Phi(t)=\det\Phi(t_0)\exp\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A$ により、基本解行列は一度可逆なら永久に可逆で、体積の変化率は $\operatorname{tr}A$ で決まります。
• $A$ が定数行列のとき、基本解行列は行列指数関数 $e^{tA}$ です。Jordan 標準形から、解の成分は $t^ke^{\lambda t}$ の一次結合だと分かり、固有値の実部が長時間挙動を決めます。（Jordan 標準形は、行列を対角に近い単純な形に直す標準的な方法です。）
• $A(t)$ が周期 $T$ なら、Floquet の定理により基本解行列は $\Phi(t)=Q(t)e^{tB}$（$Q$ は周期 $T$）と書け、周期系が定数係数系に帰着します。安定性はモノドロミー行列（解を 1 周期だけ先へ進める行列）の固有値（Floquet 乗数）で決まります。
• 2 階の周期方程式 $y''+q(t)y=0$（Hill 方程式）では、モノドロミー行列の行列式が 1 なので、トレース $\Delta$ が $|\Delta|<2$ なら安定、$|\Delta|>2$ なら不安定です。結晶中の電子のバンド構造がこの判定です。

この記事で使う事前知識

• ベクトル空間と基底: 和と定数倍ができる集合がベクトル空間で、その中の一次独立な生成元の組が基底。→ 基底
• 行列式: 正方行列に決まる数で、可逆かどうかを判定し、体積の拡大率を表す。→ 行列式
• Jordan 標準形: 複素正方行列を、対角成分に固有値、その隣に 1 が並ぶ単純な形に相似変換で直したもの。→ 対角化とジョルダン標準形
• 相似: ある可逆行列 $P$ を使って $P^{-1}AP$ と書ける関係。→ 相似
• 1 階線形方程式: $y'=a(t)y+b(t)$ の形の方程式。→ 1 階線形方程式
• 一様収束: 関数列が、場所によらない同じ速さで極限に近づくこと。→ 一様収束

• 補遺として、定数変化法を「瞬間的な力の重ね合わせ」と読み替えた Duhamel の原理（§3）と、微分を掛け算に変えて代数方程式に帰着する Laplace 変換法（§7。第 2 推移定理、逆変換の Bromwich 積分と留数公式、初期値・最終値定理）を扱います。

1. 動機

微分方程式の中で、完全に理解できている唯一の広いクラスが線形方程式です。理由は 2 つあります。

1. 重ね合わせが効きます。解どうしの和と定数倍がまた解になるので、解全体が有限次元のベクトル空間になり、「解を求める」ことは「基底を求める」ことに変わります。
2. 非線形方程式も、平衡点や既知の解の近くでは線形方程式で近似されます（第 6 章）。線形方程式の理解は、非線形の局所的理解の土台です。

もう 1 つ、物理からの動機があります。結晶の中の電子は周期ポテンシャルの中を動き、その波動関数は 1 次元なら $-y''+V(x)y=Ey$（$V$ は周期関数）を満たします。周期係数の線形方程式にはどんな一般論があるか。これに答えるのが Floquet の定理で、固体物理の Bloch の定理（周期ポテンシャルの中の電子の波動関数の形を述べる定理）の ODE 版にあたります。この記事の最後に、バンド構造が現れる様子を見ます。

以下、$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$、$A:I\to M_n(\mathbb{K})$ は開区間 $I$ 上の連続な行列値関数、$b:I\to\mathbb{K}^n$ は連続とします。複素の場合は $\mathbb{C}^n\cong\mathbb{R}^{2n}$ と同一視すれば、前章の定理がそのまま使えます。

2. 解空間と基本解行列

定理 2.1（斉次線形系の解空間）✓

$x'=A(t)x$ の初期値問題 $x(t_0)=x_0$ は、$I$ 全体で定義された解をただ 1 つ持つ。解全体 $V$ は $\mathbb{K}$ 上の $n$ 次元ベクトル空間で、$x\mapsto x(t_0)$ は $V$ から $\mathbb{K}^n$ への同型である。

証明（定理 2.1）

$f(t,x)=A(t)x$ は $x$ について線形なので $C^1$ 級で（命題 2.4［解の存在と一意性］）、局所 Lipschitz 連続です。また $|f(t,x)|\le\|A(t)\|\,|x|$ は線形増大条件を満たします。系 6.2［解の存在と一意性］ により最大解は $I$ 全体で定義され、定理 3.2［解の存在と一意性］ により一意です。

微分は線形なので、2 つの解の一次結合も解で、$V$ はベクトル空間です。写像 $x\mapsto x(t_0)$ は線形で、いま示したことにより全単射です。

∎

定義 2.2（基本解行列）↗

$n\times n$ 行列値関数 $\Phi:I\to M_n(\mathbb{K})$ が $\Phi'=A(t)\Phi$ を満たし、各 $t$ で $\Phi(t)$ が可逆であるとき、$\Phi$ を $x'=A(t)x$ の基本解行列という。列ベクトルは $V$ の基底をなす。とくに $\Phi(t_0)=I$ のものを $t_0$ での正規化された基本解行列という。

$V$ の基底 $x_1,\dots,x_n$ を列に並べた $\Phi=(x_1,\dots,x_n)$ が $\Phi'=A\Phi$ を満たすのは当然です。可逆性は次の公式から従います。

定理 2.3（Liouville の公式）✓

$\Phi:I\to M_n(\mathbb{K})$ が $\Phi'=A(t)\Phi$ を満たすなら、$t_0\in I$ に対し

$$\det\Phi(t)=\det\Phi(t_0)\exp\left(\int_{t_0}^{t}\operatorname{tr}A(s)\,ds\right)$$

が成り立つ。

この公式の意味は、解の列が作る「平行四辺形（一般には平行多面体）の体積」$\det\Phi$ が、各時刻で $\operatorname{tr}A$ に比例する速さで増減する、ということです。次の証明の方針は、$\det\Phi$ を微分すると行ごとに微分した行列式の和になり、そのうち各行で残る項だけを集めると $\operatorname{tr}A\cdot\det\Phi$ になる、というものです。同じ行が 2 つ並んだ行列式は $0$ になるので、ほとんどの項が消えます。

証明（定理 2.3）

$w(t)=\det\Phi(t)$ とおきます。行列式の Leibniz の公式（定義 3.1［行列式とその性質］）は各成分の多項式なので、積の微分により

$$w'(t)=\sum_{i=1}^{n}\det\bigl(\Phi\text{ の第 }i\text{ 行を }\Phi'\text{ の第 }i\text{ 行に替えたもの}\bigr)$$

です。行列式は行について多重線形かつ交代的です（定理 4.2［行列式とその性質］ と転置不変性 命題 3.3［行列式とその性質］）。$\Phi'=A\Phi$ より $\Phi'$ の第 $i$ 行は $\sum_ja_{ij}\times(\Phi\text{ の第 }j\text{ 行})$ なので、第 $i$ 行をこれに替えた行列式は、多重線形性で $j$ ごとに分け、$j\ne i$ のものは同じ行が 2 つ現れるため交代性により $0$ となり、残るのは $a_{ii}\det\Phi$ です。ゆえに $w'=(\operatorname{tr}A)\,w$ で、これは 1 階線形方程式（定理 4.2［常微分方程式の初等解法］）なので解は上の式です。$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ のときは $w$ が複素数値ですが、$\bigl(w\,e^{-\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A}\bigr)'=0$ から同じ式が直接従います。

∎

系 2.4（可逆性の保存）✓

$\Phi'=A\Phi$ とする。ある $t_0$ で $\Phi(t_0)$ が可逆なら、すべての $t\in I$ で可逆である。したがって $n$ 個の解が一次独立であることは、ある 1 点で値が一次独立であることと同値である。

証明（系 2.4）

定理 2.3 の右辺はどこでも $0$ になりません。後半は 定理 2.1 の同型と合わせて従います。

∎

$\Phi,\Psi$ を 2 つの基本解行列とすると、$(\Phi^{-1}\Psi)'=-\Phi^{-1}\Phi'\Phi^{-1}\Psi+\Phi^{-1}\Psi'=-\Phi^{-1}A\Psi+\Phi^{-1}A\Psi=0$ なので、$\Psi=\Phi S$（$S$ は定数可逆行列）です。基本解行列は右からの定数行列倍を除いて一意です。

3. 定数変化法

定理 3.1（定数変化法）✓

$\Phi$ を $x'=A(t)x$ の基本解行列とする。非斉次系 $x'=A(t)x+b(t)$、$x(t_0)=x_0$ の解は $I$ 全体でただ 1 つ存在し、

$$x(t)=\Phi(t)\Phi(t_0)^{-1}x_0+\Phi(t)\int_{t_0}^{t}\Phi(s)^{-1}b(s)\,ds$$

で与えられる。

証明（定理 3.1）

存在と一意性は 系 6.2［解の存在と一意性］ と 定理 3.2［解の存在と一意性］ です。公式を確かめます。$\Phi^{-1}$ の各成分は余因子行列と $\det\Phi\ne0$ から $C^1$ 級です。右辺の $x$ に対し $c(t)=\Phi(t_0)^{-1}x_0+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}b\,ds$ とおくと $x=\Phi c$、$c'=\Phi^{-1}b$ で

$$x'=\Phi'c+\Phi c'=A\Phi c+b=Ax+b,\qquad x(t_0)=\Phi(t_0)\Phi(t_0)^{-1}x_0=x_0$$

です。

∎

解が $\Phi(t)c$ の形（$c$ は定数ベクトル）だったのを、$c$ を $t$ の関数に「変化」させたものが解になる、というのが名前の由来です。

補題 3.2（y''+y=f の Duhamel の公式）✓

$I$ を $0$ を含む区間、$f$ を $I$ 上の連続関数とする。$y''+y=f$、$y(0)=y_0$、$y'(0)=y_1$ の解は $I$ 全体でただ 1 つ存在し、

$$y(t)=y_0\cos t+y_1\sin t+\int_0^t\sin(t-s)\,f(s)\,ds$$

で与えられる。

証明（補題 3.2）

$x=(y,y')^{\mathsf T}$ と置くと、方程式は $x'=Ax+b(t)$、$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$、$b(t)=(0,f(t))^{\mathsf T}$、$x(0)=(y_0,y_1)^{\mathsf T}$ と同値です。$\Phi(t)=\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ は各列が $x'=Ax$ を満たし（第 1 列の微分は $(-\sin t,-\cos t)^{\mathsf T}=A(\cos t,-\sin t)^{\mathsf T}$、第 2 列も同様）、$\det\Phi=1$ なので基本解行列で、$\Phi(0)=1$ です。加法定理から $\Phi(t)\Phi(s)^{-1}=\Phi(t)\Phi(-s)=\Phi(t-s)$ です。定理 3.1 により解はただ 1 つで

$$x(t)=\Phi(t)x(0)+\int_0^t\Phi(t-s)\,b(s)\,ds$$

です。第 1 成分を取ると、$\Phi(t)x(0)$ の第 1 成分は $y_0\cos t+y_1\sin t$、$\Phi(t-s)b(s)$ の第 1 成分は $\sin(t-s)f(s)$ なので主張の式を得ます。

∎

例 3.3（2 階方程式の Duhamel の公式）

$y''+y=f(t)$ を $x=(y,y')^{\mathsf T}$ で $x'=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}x+\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}$ と書きます。正規化された基本解行列は $\Phi(t)=\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ で、$\Phi(t)\Phi(s)^{-1}=\Phi(t-s)$ です。定理 3.1 の第 1 成分は、$y(0)=y'(0)=0$ のとき

$$y(t)=\int_0^t\sin(t-s)\,f(s)\,ds$$

です（補題 3.2 で $y_0=y_1=0$ とした場合）。核 $\sin(t-s)$ は、時刻 $s$ に加えた力 $f(s)$ に対する時刻 $t$ の応答で、第 5 章の Green 関数の原型です。

この例の形（外力を「各時刻の瞬間的な力の重ね合わせ」と見る）が Duhamel の原理です。一般の線形系で述べておきます。

命題 3.4（Duhamel の原理）✓

$\Phi$ を $x'=A(t)x$ の基本解行列とし、$b$ を $I$ 上の連続関数とする。各 $s\in I$ に対し、時刻 $s$ に初期値 $b(s)$ をもつ斉次系の解を $y_s$（$y_s'=A(t)y_s$、$y_s(s)=b(s)$）とする。このとき、非斉次系 $x'=A(t)x+b(t)$、$x(t_0)=0$ の解は

$$x(t)=\int_{t_0}^t y_s(t)\,ds$$

である。すなわち、外力 $b$ の効果は、各時刻 $s$ に加えた瞬間的な力 $b(s)\,ds$ が、その後は系の自由な発展 $y_s$ に従って伝わっていく効果の重ね合わせである。

証明（命題 3.4）

$y_s(t)=\Phi(t)\Phi(s)^{-1}b(s)$ です（右辺は斉次系の解で、$t=s$ で $b(s)$ になる。解の一意性は 定理 3.2［解の存在と一意性］）。したがって $\int_{t_0}^ty_s(t)\,ds=\Phi(t)\int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}b(s)\,ds$ で、これは 定理 3.1 の公式で $x_0=0$ としたものです。

∎

定数係数なら $y_s(t)=e^{(t-s)A}b(s)$ で、定理 4.3 の積分は「$e^{tA}$ と $b$ の畳み込み」です。偏微分方程式の非斉次問題も同じ形で解けます。1 次元の波動方程式では 波動方程式 の 命題 2.2［波動方程式］ で確かめます（熱方程式でも、熱半群 $P_{t-s}$ を $e^{(t-s)A}$ の代わりに使えば同じ形の公式になります）。

4. 行列指数関数と定数係数系

$A$ が $t$ によらない行列のとき、$x'=Ax$ の基本解行列は、スカラーの場合 $e^{at}$ に倣って $e^{tA}$ のはずです。ここで行列の指数関数を定義し、性質を調べます。$M_n(\mathbb{C})$ には $\|A\|=\max_{|v|=1}|Av|$ で作用素ノルム（長さ 1 のベクトルが $A$ でどれだけ伸びるかの最大値）を入れます。$\|AB\|\le\|A\|\|B\|$ で、各成分は $|a_{ij}|\le\|A\|$ を満たし、$\|A\|\le(\sum|a_{ij}|^2)^{1/2}$ なので、ノルムの収束と成分ごとの収束は同値です。

定義 4.1（行列指数関数）↗

$A\in M_n(\mathbb{C})$ に対し

$$e^{A}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}$$

と定める。

$\|A^k/k!\|\le\|A\|^k/k!$ なので、成分ごとに Weierstrass の M 判定法（系 6.4［関数列と一様収束］）が使え、級数は $\|A\|\le R$ の範囲で一様に絶対収束します。（実行列の場合の収束・微分・指数法則は リー群とリー環 の 補題 8.5［リー群とリー環］ にもあります。ここでは複素行列と $\det e^A=e^{\operatorname{tr}A}$ まで含めて、微分方程式の言葉で改めて示します。）

命題 4.2（行列指数関数の性質）✓

$A,B\in M_n(\mathbb{C})$、$P$ を可逆行列とする。

1. $AB=BA$ なら $e^{A+B}=e^Ae^B$。
2. $e^{A}$ は可逆で $(e^A)^{-1}=e^{-A}$。
3. $\dfrac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}=e^{tA}A$。
4. $P^{-1}e^{A}P=e^{P^{-1}AP}$。
5. $\det e^A=e^{\operatorname{tr}A}$。

証明（命題 4.2）

1. 二項定理（$A,B$ が可換なので使える）により $\dfrac{(A+B)^m}{m!}=\sum_{j+k=m}\dfrac{A^j}{j!}\dfrac{B^k}{k!}$ です。級数 $\sum A^j/j!$、$\sum B^k/k!$ はともに絶対収束するので、Cauchy 積が使えて、$\sum_m(A+B)^m/m!=e^Ae^B$ です。
2. 1 で $B=-A$ とすると $e^Ae^{-A}=e^0=I$。
3. $e^{tA}$ の各成分は $t$ の整級数で、項別微分した級数 $\sum_{k\ge1}t^{k-1}A^k/(k-1)!=Ae^{tA}$ も有界区間で一様収束するので、項別微分の定理（定理 7.3［関数列と一様収束］）が使えます。$A$ と $e^{tA}$ は可換です。
4. $(P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP$ を項ごとに足します。
5. $\Phi(t)=e^{tA}$ は 3 より $\Phi'=A\Phi$ を満たすので、定理 2.3 により $\det e^{tA}=\det\Phi(0)\,e^{t\operatorname{tr}A}=e^{t\operatorname{tr}A}$。$t=1$ とします。

∎

定理 4.3（定数係数線形系の解）✓

$A\in M_n(\mathbb{K})$ とする。$x'=Ax+b(t)$、$x(t_0)=x_0$ の解は

$$x(t)=e^{(t-t_0)A}x_0+\int_{t_0}^{t}e^{(t-s)A}b(s)\,ds$$

である。とくに $e^{tA}$ は $t_0=0$ で正規化された基本解行列である。

証明（定理 4.3）

命題 4.2 の 3 から $\Phi=e^{tA}$ は $\Phi'=A\Phi$、$\Phi(0)=I$ を満たし、2 から可逆です。定理 3.1 に $\Phi(t)\Phi(s)^{-1}=e^{tA}e^{-sA}=e^{(t-s)A}$（1）を代入します。

∎

実際の計算は Jordan 標準形で行います。$A=PJP^{-1}$（定理 6.2［対角化とジョルダン標準形］）なら $e^{tA}=Pe^{tJ}P^{-1}$ で、$J$ は Jordan 細胞 $J_\lambda=\lambda I+N$（$N$ は冪零で $N^m=0$）のブロック対角行列です。$\lambda I$ と $N$ は可換なので

$$e^{tJ_\lambda}=e^{\lambda t}\,e^{tN}=e^{\lambda t}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^kN^k}{k!}\tag{4.1}$$

となります。これで解の形が決まります。

系 4.4（解の形と増大度）✓

$x'=Ax$ の任意の解の各成分は、$A$ の固有値 $\lambda_j$ と Jordan 細胞の最大サイズ $m_j$ に対する $p_j(t)e^{\lambda_jt}$（$p_j$ は次数 $<m_j$ の多項式）の和である。$\sigma=\max\operatorname{Re}\lambda_j$ とすると、任意の $\varepsilon>0$ に対し $C$ が存在して $\|e^{tA}\|\le Ce^{(\sigma+\varepsilon)t}$（$t\ge0$）が成り立つ。とくに $\sigma<0$ なら $\|e^{tA}\|\le Ce^{-ct}$（$c>0$）である。

証明（系 4.4）

前半は (4.1) と $e^{tA}=Pe^{tJ}P^{-1}$ の成分表示そのものです。後半：$|t^k e^{\lambda t}|\le t^ke^{\sigma t}$ で、$t^k\le C_ke^{\varepsilon t}$（$k$ 固定）なので、$\|e^{tJ}\|$ の各成分が $Ce^{(\sigma+\varepsilon)t}$ 以下で、$\|e^{tA}\|\le\|P\|\|P^{-1}\|\|e^{tJ}\|$ から従います。$\sigma<0$ なら $\varepsilon=-\sigma/2$、$c=-\sigma/2$ とします。

∎

例 4.5（$e^{tA}$ の例）

(a) $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$（固有値 $\pm i$）では $A^2=-I$ で、$e^{tA}=\cos t\,I+\sin t\,A=\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}$（回転）です。

(b) $A=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$（Jordan 細胞）では $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$N^2=0$ で $e^{tA}=e^{\lambda t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ です。固有値が重解のとき多項式 $t$ が現れます（共鳴）。

(c) $A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}$ なら $e^{tA}=\operatorname{diag}(e^{-t},e^{-3t})$ で、$\sigma=-1<0$ なので原点に減衰します。

5. 周期係数の系：Floquet の定理

$A:\mathbb{R}\to M_n(\mathbb{C})$ が連続で、周期 $T>0$ を持つ（$A(t+T)=A(t)$）とします。

補題 5.1（モノドロミー行列）✓

$\Phi$ を $x'=A(t)x$ の基本解行列とすると、定数可逆行列 $C$ が存在して $\Phi(t+T)=\Phi(t)C$（$t\in\mathbb{R}$）が成り立つ。$\Phi(0)=I$ なら $C=\Phi(T)$ で、これをモノドロミー行列という。別の基本解行列 $\Psi=\Phi S$ のモノドロミー行列は $S^{-1}CS$ で、$C$ と相似である。

証明（補題 5.1）

$\Psi(t)=\Phi(t+T)$ は $\Psi'=A(t+T)\Phi(t+T)=A(t)\Psi$ を満たす基本解行列なので、§2 の最後の注意により $\Psi=\Phi C$（$C$ は定数可逆行列）です。後半：$\Psi(t+T)=\Phi(t+T)S=\Phi(t)CS=\Psi(t)S^{-1}CS$ です。

∎

$C$ の固有値を Floquet 乗数といい、相似不変なので $\Phi$ の選び方によりません。次に、$C=e^{TB}$ となる行列 $B$（対数）を作ります。

次の補題のねらいは、Floquet の定理で使う「行列の対数」の存在です。スカラーなら 0 でない数の対数は（複素数の範囲で）とれます。行列でも Jordan 細胞ごとに考えると、$\lambda(I+M)$（$M$ は冪零）の形になり、スカラー部分 $\lambda$ の対数と、$\log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-\cdots$ に $M$ を代入した有限和で足りる、という発想です。証明に出てくる級数 $S(s)$ はこの有限和です。

補題 5.2（可逆行列の対数）✓

任意の可逆行列 $C\in M_n(\mathbb{C})$ に対し、$e^{B}=C$ となる $B\in M_n(\mathbb{C})$ が存在する。

証明（補題 5.2）

Jordan 標準形により、$C=P\operatorname{diag}(J_1,\dots,J_r)P^{-1}$（$J_i=\lambda_iI+N_i$）の各細胞に対して $e^{B_i}=J_i$ となる $B_i$ を作れば十分です（$B=P\operatorname{diag}(B_i)P^{-1}$ とすると 命題 4.2 の 4 とブロック対角性から $e^B=C$）。$C$ が可逆なので $\lambda_i\ne0$ です。複素数の指数関数は $\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ の全射なので、$e^{\mu}=\lambda_i$ となる $\mu$ をとります。$M=N_i/\lambda_i$（冪零、$M^m=0$）とおくと $J_i=\lambda_i(I+M)$ です。

$S(s)=\sum_{k=1}^{m-1}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}s^kM^k$（$s\in\mathbb{R}$）とおきます。$M^m=0$ から $(I+sM)\sum_{j=0}^{m-1}(-sM)^j=I$ なので、

$$S'(s)=\sum_{k=1}^{m-1}(-1)^{k+1}s^{k-1}M^k=M(I+sM)^{-1}$$

です。$S(s)$ はすべて $M$ の多項式なので互いに可換で、$E(s)=e^{S(s)}$ は $E'(s)=S'(s)E(s)$ を満たします（$e^{S(s+h)}=e^{S(s)}e^{S(s+h)-S(s)}$ と 命題 4.2 の 1）。一方 $H(s)=I+sM$ は $H'=M=S'(s)H(s)$ を満たします。$E(0)=H(0)=I$ で、線形系 $X'=S'(s)X$ の解の一意性（定理 3.2［解の存在と一意性］）から $E=H$、$s=1$ で $e^{S(1)}=I+M$ です。$B_i=\mu I+S(1)$ とおくと、$\mu I$ と $S(1)$ は可換なので $e^{B_i}=e^{\mu}(I+M)=J_i$ です。

∎

定理 5.3（Floquet の定理）✓

$A$ が周期 $T$ の連続な行列値関数とし、$\Phi$ を $\Phi(0)=I$ の基本解行列とする。このとき、周期 $T$ の連続微分可能な可逆行列値関数 $Q(t)$ と定数行列 $B\in M_n(\mathbb{C})$ が存在して

$$\Phi(t)=Q(t)\,e^{tB},\qquad Q(t+T)=Q(t),\qquad Q(0)=I$$

が成り立つ。さらに、変数変換 $x=Q(t)y$ により系 $x'=A(t)x$ は定数係数系 $y'=By$ に変換される。

証明の方針は、周期性を表す関係 $\Phi(t+T)=\Phi(t)C$ に、$C=e^{TB}$ となる $B$ を組み合わせることです。$Q(t)=\Phi(t)e^{-tB}$ と定めると、$t$ を $T$ だけ進めたときに $C$ が右から掛かる分と $e^{-TB}$ が打ち消し合って、$Q$ が周期的になります。

証明（定理 5.3）

モノドロミー行列 $C=\Phi(T)$ は可逆で、補題 5.2 により $e^{B'}=C$ となる $B'$ があります。$B=B'/T$ とすると $e^{TB}=C$ です。$Q(t)=\Phi(t)e^{-tB}$ とおくと、補題 5.1 と 命題 4.2 の 1 により

$$Q(t+T)=\Phi(t)\,C\,e^{-TB}e^{-tB}=\Phi(t)e^{-tB}=Q(t)$$

です。$Q(0)=I$ で、$Q$ は可逆行列の積なので可逆、$C^1$ 級です。$x=Qy$ なら $x'=AQy$ で、一方 $Q'=\Phi'e^{-tB}-\Phi Be^{-tB}=AQ-QB$ より $x'=Q'y+Qy'=AQy-QBy+Qy'$ です。これらを等しいとおくと $Qy'=QBy$、$Q$ は可逆なので $y'=By$ です。

∎

次の系の直感は、解が 1 周期進むごとにモノドロミー行列 $C$ が掛かる、という点にあります。乗数の絶対値が 1 未満の方向は周期ごとに縮み、1 より大きい方向は周期ごとに伸びるので、乗数 $\mu$ と $B$ の固有値 $\rho$ が $e^{T\rho}=\mu$ で対応するので、長い時間では $B$ の固有値の実部の符号が安定性を決めます。

系 5.4（Floquet 乗数と安定性）✓

$\mu_1,\dots,\mu_n$ を Floquet 乗数とする。

1. すべての $|\mu_j|<1$ なら、$x'=A(t)x$ のすべての解は $t\to\infty$ で指数的に $0$ に収束する。
2. ある $|\mu_j|>1$ なら、非有界な（複素）解が存在する。

証明（系 5.4）

$\Phi=Qe^{tB}$ です。$B$ を Jordan 標準形にすると、$C=e^{TB}$ の固有値は、$B$ の固有値 $\rho$ に対する $e^{T\rho}$ の全体です（(4.1) で $e^{TJ_\rho}$ の対角成分は $e^{T\rho}$）。したがって Floquet 乗数 $\mu$ ごとに、$B$ の固有値 $\rho$ で $\mu=e^{T\rho}$ となるものがあり、$\operatorname{Re}\rho=T^{-1}\log|\mu|$ です。

(1) すべての $\operatorname{Re}\rho<0$ なので 系 4.4 から $\|e^{tB}\|\le Ce^{-ct}$、$Q$ は周期的で有界なので、解 $x(t)=Q(t)e^{tB}x_0$ も指数的に減衰します。

(2) $\operatorname{Re}\rho>0$ の固有値 $\rho$ と固有ベクトル $v$ をとり $x(t)=Q(t)e^{\rho t}v$ とします。$Q^{-1}$ も周期的で有界なので $|x(t)|\ge e^{\operatorname{Re}\rho\,t}|v|/\max\|Q^{-1}\|\to\infty$ です。

∎

実の方程式でも、(2) の複素解の実部または虚部は実の非有界解です。

6. Hill 方程式

Hill 方程式 $y''+q(t)y=0$（$q$ は実数値の連続関数で周期 $T$）は $x=(y,y')^{\mathsf T}$ で $x'=A(t)x$、$A=\begin{pmatrix}0&1\\-q&0\end{pmatrix}$ と書けます。$\operatorname{tr}A=0$ なので 定理 2.3 から $\det\Phi(t)\equiv1$、とくにモノドロミー行列 $C=\Phi(T)$ は実行列で $\det C=1$ です。Floquet 乗数は $\mu^2-\Delta\mu+1=0$ の根で、$\Delta=\operatorname{tr}C$ を判別式といいます。

定理 6.1（Hill 方程式の安定・不安定）✓

Hill 方程式について

1. $|\Delta|<2$ なら、すべての解が有界である。
2. $|\Delta|>2$ なら、非有界な解が存在する。
3. $|\Delta|=2$ のとき、$C=\pm I$ ならすべての解が有界、そうでなければ非有界な解が存在する。

証明（定理 6.1）

$\Phi(0)=I$ とすると、解は $x(t)=\Phi(t)x_0$ で、補題 5.1 から $x(s+kT)=\Phi(s)C^kx_0$（$0\le s<T$、$k\in\mathbb{N}$）です。$\Phi(s)$ は $[0,T]$ 上で有界なので、解が有界であることは $\{C^kx_0\}_k$ が有界であることと同値です。

(1) $|\Delta|<2$ なら $\mu^2-\Delta\mu+1=0$ の根は相異なる共役複素数で、積が $1$ なので $|\mu|=1$ です。相異なる固有値をもつ $C$ は対角化可能（系 3.4［対角化とジョルダン標準形］）で、$C=P\operatorname{diag}(\mu,\bar\mu)P^{-1}$ から $\|C^k\|\le\|P\|\|P^{-1}\|$ は $k$ によらず有界です。

(2) $|\Delta|>2$ なら根は実数で、積が $1$ なので $|\mu_1|>1>|\mu_2|$ とできます。$\mu_1$ の固有ベクトル $v$ に対し $C^kv=\mu_1^kv$ は非有界です（実行列の実固有値の固有ベクトルは実ベクトルにとれる）。

(3) $\Delta=\pm2$ なら $\mu=\pm1$ の重根です。$C=\mu I$ なら $C^k=\mu^kI$ で有界。そうでなければ $C$ の Jordan 標準形は $\mu(I+N)$（$N\ne0$、$N^2=0$）の形で、$C^k=\mu^k(I+kN)$ は非有界です。

∎

次の例で $\Delta$ の式が出る仕組みを先に述べておきます。2 つの区間の行列 $M_2(b)M_1(a)$ のトレースは対角成分の和です。(1,1) 成分は $\cos\omega_2b\cos\omega_1a-\frac{\omega_1}{\omega_2}\sin\omega_2b\sin\omega_1a$、(2,2) 成分は $\cos\omega_2b\cos\omega_1a-\frac{\omega_2}{\omega_1}\sin\omega_2b\sin\omega_1a$ なので、足すと例の式になります。

例 6.2（Kronig–Penney 模型：バンド構造）

$q(t)=E$（$0\le t<a$）、$q(t)=E-V_0$（$a\le t<T$）を周期 $T$ で延長します（階段状の周期ポテンシャルで、$-y''+V y=Ey$ の形）。各区間で $y''+\omega^2y=0$ の基本解行列は $M(\ell)=\begin{pmatrix}\cos\omega\ell&\omega^{-1}\sin\omega\ell\\-\omega\sin\omega\ell&\cos\omega\ell\end{pmatrix}$ です。$\omega_1=\sqrt E$、$\omega_2=\sqrt{E-V_0}$（$E>V_0$ のとき）、$b=T-a$ とすると $C=M_2(b)M_1(a)$ で

$$\Delta=\operatorname{tr}C=2\cos\omega_1a\cos\omega_2b-\left(\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)\sin\omega_1a\,\sin\omega_2b$$

です（$E<V_0$ では $\omega_2=i\kappa$、$\kappa=\sqrt{V_0-E}$ として $\Delta=2\cos\omega_1a\cosh\kappa b+\left(\frac{\kappa}{\omega_1}-\frac{\omega_1}{\kappa}\right)\sin\omega_1a\sinh\kappa b$）。定理 6.1 より、$|\Delta(E)|<2$ となる $E$ では解が有界で、$|\Delta(E)|>2$ では有界でない解があります（$|\Delta|=2$ の境界の $E$ は 定理 6.1 の 3 の場合分けに従います）。

図 1. Kronig–Penney 模型（T = 1、a = b = 1/2、V₀ = 60）の判別式 Δ(E)。横軸は E = 0 から 160、縦軸は Δ = −6 から 6（範囲外は端で切る）。|Δ| ≤ 2 の領域（影）が許容バンド、それ以外がギャップ。

固体物理でいうエネルギーバンド（許される $E$）とギャップ（許されない $E$）が、モノドロミー行列のトレースだけで決まります。

実係数の方程式でも $B$ を実行列にとれるとは限りません（乗数が負の実数のとき）。そのため実の場合は周期を 2 倍にして $C^2$ を考えます。ここでは立ち入りません。

7. Laplace 変換法

定数係数の線形方程式は、$e^{tA}$ を使わなくても、Laplace 変換で「微分を掛け算に変える」ことで代数方程式に帰着できます。この節では、変換の演算則、微分方程式への応用、逆変換、初期値・最終値の定理を、必要な範囲で証明します。

$f:[0,\infty)\to\mathbb{C}$ が区分的連続であるとは、有界区間に有限個の跳びしかなく、各点で左右の極限が存在することをいい、指数位数 $\omega$ であるとは、ある $M$ で $|f(t)|\le Me^{\omega t}$（$t\ge0$）が成り立つことをいう（$\omega>0$ としてよい）。

定義 7.1（Laplace 変換）↗

指数位数 $\omega$ の区分的連続関数 $f$ に対し、$\operatorname{Re}s>\omega$ で

$$(\mathcal{L}f)(s)=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

を $f$ の Laplace 変換という（$|e^{-st}f(t)|\le Me^{-(\operatorname{Re}s-\omega)t}$ で絶対収束する）。ベクトル値関数には成分ごとに定義する。

命題 7.2（Laplace 変換の演算則）✓

$f,g$ を指数位数 $\omega$ の区分的連続関数、$\operatorname{Re}s>\omega$ とする。

1. （線形性）$\mathcal{L}(\alpha f+\beta g)=\alpha\mathcal{L}f+\beta\mathcal{L}g$。
2. （微分）$f$ が連続で区分的に $C^1$、$f'$ が指数位数 $\omega$ なら $\mathcal{L}[f'](s)=sF(s)-f(0)$。$f$ が $C^1$ 級で $f'$ が連続かつ区分的 $C^1$、$f''$ が指数位数 $\omega$ なら $\mathcal{L}[f''](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$。
3. （積分）$\mathcal{L}\bigl[\int_0^tf\bigr](s)=F(s)/s$。
4. （第 1 推移）$a\in\mathbb{C}$ について $\mathcal{L}[e^{at}f](s)=F(s-a)$（$\operatorname{Re}s>\omega+\operatorname{Re}a$）。
5. （第 2 推移）$a\ge0$ とし、$f_a(t)=f(t-a)$（$t\ge a$）、$f_a(t)=0$（$0\le t<a$）とすると $\mathcal{L}f_a(s)=e^{-as}F(s)$。
6. （畳み込み）$(f*g)(t)=\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\,d\tau$ について $\mathcal{L}(f*g)=\mathcal{L}f\cdot\mathcal{L}g$。
7. $k\ge0$ について $\mathcal{L}\bigl[\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}\bigr](s)=\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}$（$\operatorname{Re}s>\operatorname{Re}\lambda$）。
8. （一意性）$\mathcal{L}f=\mathcal{L}g$（$\operatorname{Re}s>\omega$）ならば、$f$ と $g$ はともに連続な点で $f=g$ である。とくに $f,g$ がともに連続なら恒等的に $f=g$ である。

証明（命題 7.2）

1: 積分の線形性です。

2: 区分的に $C^1$ な区間ごとに部分積分すると、$f$ が連続なので区間の境の項は隣どうしで打ち消し合い、$\int_0^Te^{-st}f'\,dt=e^{-sT}f(T)-f(0)+s\int_0^Te^{-st}f\,dt$ です。$|e^{-sT}f(T)|\le Me^{-(\operatorname{Re}s-\omega)T}\to0$ なので $T\to\infty$ として得ます。2 回の微分は、$f'$ に同じ式を適用します（$f''$ が指数位数 $\omega$ なら $|f'(t)|\le|f'(0)|+\frac M\omega e^{\omega t}$ なので $f'$ も指数位数 $\omega$ です）。

3: $G(t)=\int_0^tf$ は連続で、跳びの点を除いて $G'=f$、$G(0)=0$、$|G(t)|\le \frac M\omega e^{\omega t}$ です。2 により $F=\mathcal{L}f=s\mathcal{L}G$ です。

4: $\int_0^\infty e^{-st}e^{at}f(t)\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}f(t)\,dt$ です。

5: $\int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\,dt$ で $\tau=t-a$ と置換すると $e^{-sa}\int_0^\infty e^{-s\tau}f(\tau)\,d\tau$ です。

6: $|f(t-\tau)g(\tau)|e^{-\sigma t}$（$\sigma=\operatorname{Re}s$）の $\{0\le\tau\le t\}$ 上の積分は有限（$M_1M_2\int\!\!\int e^{-(\sigma-\omega)t}\,d\tau\,dt$）なので、Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で順序を交換できます。$\int_0^\infty e^{-st}\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\,d\tau\,dt=\int_0^\infty g(\tau)e^{-s\tau}\Bigl(\int_\tau^\infty e^{-s(t-\tau)}f(t-\tau)\,dt\Bigr)d\tau=F(s)\mathcal{L}g(s)$ です。

7: $\int_0^\infty\frac{t^k}{k!}e^{-(s-\lambda)t}dt=\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}$ は、$k$ についての帰納法と部分積分 $\int_0^\infty t^ke^{-ut}dt=\frac ku\int_0^\infty t^{k-1}e^{-ut}dt$（$\operatorname{Re}u>0$）から従います。

8: $H(t)=\int_0^t(f-g)$ は連続で、指数位数 $\omega$ であり、3 より $\mathcal{L}H=\mathcal{L}(f-g)/s=0$ です。ベクトル値 Laplace 変換の一意性（定理 7.1［Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理］ の 2 を $X=\mathbb{C}$ で使う）から $H\equiv0$ です。$f,g$ がともに連続な点では $f-g=H'=0$ です。

∎

定理 7.3（Laplace 変換法（線形常微分方程式系））✓

$A\in M_n(\mathbb{C})$ の固有値の実部の最大値を $\sigma$ とする。$b:[0,\infty)\to\mathbb{C}^n$ を連続で指数位数 $\omega$ とし、$x$ を $x'=Ax+b(t)$、$x(0)=x_0$ の解とする。このとき $x$ は指数位数 $\omega'$（$\omega'>\max(\sigma,\omega)$ を任意にとれる）で、$\operatorname{Re}s>\max(\sigma,\omega)$ で

$$\mathcal{L}x(s)=(sI-A)^{-1}\bigl(x_0+\mathcal{L}b(s)\bigr)$$

が成り立つ。とくに $b=0$ では $\mathcal{L}\bigl[e^{tA}\bigr](s)=(sI-A)^{-1}$ である。

証明（定理 7.3）

定理 4.3 から $x(t)=e^{tA}x_0+\int_0^te^{(t-u)A}b(u)\,du$ です。系 4.4 により $\|e^{tA}\|\le Ce^{(\sigma+\varepsilon)t}$ なので、$\omega'>\max(\sigma,\omega)$ に対し $\varepsilon$ を $\sigma+\varepsilon<\omega'$ ととれば $x$ は指数位数 $\omega'$ で、$x'=Ax+b$ も同じ位数です。命題 7.2 の 2 より $\mathcal{L}x'(s)=s\mathcal{L}x(s)-x_0$ で、これが $A\mathcal{L}x+\mathcal{L}b$ に等しいので $(sI-A)\mathcal{L}x=x_0+\mathcal{L}b$ です。$A$ の固有値の実部はすべて $\sigma$ 以下なので、$\operatorname{Re}s>\sigma$ の $s$ は $A$ の固有値でなく、$sI-A$ は可逆です。よって結論を得ます。$b=0$ で $x_0$ を標準基底ベクトルにとれば、$e^{tA}$ の各列の変換が $(sI-A)^{-1}$ の各列になります。

∎

例 7.4（2 階方程式を代数方程式にする）

$y''+3y'+2y=e^{-3t}$、$y(0)=1$、$y'(0)=0$ を解きます。命題 7.2 の 2 と 7 で両辺を変換すると $(s^2Y-s)+3(sY-1)+2Y=\frac1{s+3}$、すなわち $(s+1)(s+2)Y=s+3+\frac1{s+3}$ です。部分分数分解で

$$Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}+\frac1{(s+1)(s+2)(s+3)}=\frac{5/2}{s+1}-\frac2{s+2}+\frac{1/2}{s+3}$$

で、7 と一意性（8）から $y(t)=\frac52e^{-t}-2e^{-2t}+\frac12e^{-3t}$ です。検算：$y(0)=\frac52-2+\frac12=1$、$y'(0)=-\frac52+4-\frac32=0$ です。また $e^{-t}$ と $e^{-2t}$ は斉次方程式の解で、$\frac12e^{-3t}$ に左辺を作用させると $\frac12(9-9+2)e^{-3t}=e^{-3t}$ で右辺を再現します。

例 7.5（第 2 推移定理：外力が途中で切れる方程式）

$y''+y=f(t)$、$y(0)=y'(0)=0$、$f(t)=1$（$0\le t<\pi$）、$f(t)=0$（$t\ge\pi$）を解きます。$f=1-H(t-\pi)$（$H$ は階段関数）で、$\mathcal{L}f=\frac{1-e^{-\pi s}}s$（命題 7.2 の 5）です。$(s^2+1)Y=\frac{1-e^{-\pi s}}s$、$\frac1{s(s^2+1)}=\frac1s-\frac s{s^2+1}$ は $u(t)=1-\cos t$ の変換なので、第 2 推移（5）から $y(t)=u(t)-u_\pi(t)$、$u_\pi(t)=u(t-\pi)$（$t\ge\pi$）、$0$（$t<\pi$）です。$t<\pi$ では $y=1-\cos t$、$t\ge\pi$ では $y=(1-\cos t)-(1-\cos(t-\pi))=-2\cos t$ です。$t=\pi$ で $y$ は両側から $2$、$y'$ は両側から $0$ で、$y$ は $C^1$ 級です（$f$ が跳ぶ点で $y''$ が跳びます）。

逆向き、すなわち $F$ から $f$ を求める逆 Laplace 変換は、上の一意性（8）により、$\mathcal{L}f=F$ を満たす連続関数 $f$ が高々 1 つであるという意味で定まります。具体的な公式は 2 通りあります。

定理 7.6（逆 Laplace 変換の積分公式（Bromwich））✓

$f:[0,\infty)\to\mathbb{C}$ は連続で区分的に $C^1$ とし、$f(0)=0$、$|f|$ と $|f'|$ は指数位数 $\omega$ とする。$F=\mathcal{L}f$、$\gamma>\omega$ とする。このとき $\xi\mapsto F(\gamma+i\xi)$ は $\mathbb{R}$ 上で可積分であり、すべての $t\ge0$ について

$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}F(s)\,e^{st}\,ds=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\gamma+i\xi)\,e^{(\gamma+i\xi)t}\,d\xi$$

である。

証明の方針は、$f$ に $e^{-\gamma t}$ を掛けて $t<0$ では $0$ とした関数 $g$ をつくり、その Fourier 変換がちょうど $F(\gamma+i\xi)$ になることを使って、Fourier 変換の反転公式に持ち込むことです。証明に出る $L^1$ は絶対値が積分できる関数の集まり、$L^2$ は 2 乗が積分できる関数の集まりで、反転公式を使うには $\hat g$ が $L^1$ に入ることを示す必要があり、そのために Cauchy–Schwarz の不等式を使います。

証明（定理 7.6）

$g(t)=e^{-\gamma t}f(t)$（$t\ge0$）、$g(t)=0$（$t<0$）とします。$f(0)=0$ なので $g$ は $\mathbb{R}$ 上連続で、$|g|\le Me^{-(\gamma-\omega)t}$ から $g\in L^1$ です。Fourier 変換（定義 2.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）は $\hat g(\xi)=\int_0^\infty e^{-(\gamma+i\xi)t}f(t)\,dt=F(\gamma+i\xi)$ です。$h(t)=e^{-\gamma t}f'(t)$（$t>0$、$t<0$ では $0$）は有界で指数的に減衰するので $h\in L^1\cap L^2$、定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ により $\hat h\in L^2$ です。命題 7.2 の 2 を $s=\gamma+i\xi$ に使うと $\hat h(\xi)=\mathcal{L}f'(\gamma+i\xi)=(\gamma+i\xi)F(\gamma+i\xi)$ です。したがって $|\hat g(\xi)|=\frac{|\hat h(\xi)|}{|\gamma+i\xi|}$ で、$\xi\mapsto(\gamma^2+\xi^2)^{-1/2}\in L^2$ と $\hat h\in L^2$ に Cauchy–Schwarz の不等式を使って $\hat g\in L^1$ です。反転公式（定理 3.3［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）により $g(t)=\frac1{2\pi}\int\hat g(\xi)e^{i\xi t}d\xi$ がほとんど至るところで成り立ち、両辺は連続（右辺は優収束定理）なので、すべての $t$ で成り立ちます。両辺に $e^{\gamma t}$ をかけると $t\ge0$ で主張を得ます。

∎

有理関数の場合は、極の留数だけで逆変換が書けます。

系 7.7（有理関数の逆 Laplace 変換と留数）✓

$F=P/Q$ を真に固有な（$\deg Q>\deg P$）有理関数とし、その極を $s_1,\dots,s_p$ とする。

$$f(t)=\sum_{k=1}^p\operatorname{Res}\bigl(F(w)e^{wt},\,s_k\bigr)\qquad(t\ge0)$$

とおくと、$f$ は $t$ の多項式と $e^{s_kt}$ の積の和で、$\operatorname{Re}s>\max_k\operatorname{Re}s_k$ で $\mathcal{L}f(s)=F(s)$ である。

証明（系 7.7）

$s_k$ での $F$ の主要部を $\sum_{j\ge1}c_{kj}(w-s_k)^{-j}$ とすると、$\operatorname{Res}\bigl(e^{wt}/(w-s_k)^j,s_k\bigr)=\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{s_kt}$（$e^{wt}$ のテイラー展開）なので $f(t)=\sum_{k,j}c_{kj}\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{s_kt}$ です。命題 7.2 の 7 により $\mathcal{L}f(s)=\sum_{k,j}\frac{c_{kj}}{(s-s_k)^j}$ です。他方、$s$ を固定して $w\mapsto\frac{F(w)}{s-w}$ の $s_k$ での留数を求めると、$\frac1{s-w}=\sum_{l\ge0}\frac{(w-s_k)^l}{(s-s_k)^{l+1}}$ との積の $(w-s_k)^{-1}$ の係数として $\sum_jc_{kj}(s-s_k)^{-j}$ です。したがって $\mathcal{L}f(s)=\sum_k\operatorname{Res}\bigl(\frac{F(w)}{s-w},s_k\bigr)$ です。大きな円 $|w|=R$（すべての $s_k$ と $s$ を内部に含む）上で $\bigl|\frac{F(w)}{s-w}\bigr|\le\frac{K}{R(R-|s|)}$（$F=O(1/|w|)$）なので、積分は $2\pi R\cdot\frac K{R(R-|s|)}\to0$ ですが、定理 5.1［留数定理と定積分への応用］ により積分は $2\pi i\bigl[\sum_k\operatorname{Res}\bigl(\frac F{s-w},s_k\bigr)+\operatorname{Res}\bigl(\frac F{s-w},s\bigr)\bigr]$ に等しく（$R$ によらない）、$\operatorname{Res}\bigl(\frac{F(w)}{s-w},s\bigr)=-F(s)$ です。よって $\sum_k\operatorname{Res}\bigl(\frac{F(w)}{s-w},s_k\bigr)=F(s)$ です。

∎

定理 7.8（初期値定理・最終値定理）✓

$f$ を指数位数の区分的連続関数、$F=\mathcal{L}f$ とし、$s$ は実数 $s\to\infty$ または $s\downarrow0$ とする。

1.（初期値）右極限 $f(0+)$ が存在するなら $\lim_{s\to\infty}sF(s)=f(0+)$ である。 2.（最終値）$\lim_{t\to\infty}f(t)=L$ が存在するなら $\lim_{s\downarrow0}sF(s)=L$ である。 3.（最終値定理の逆、有理関数の場合）$F$ が真に固有な有理関数で、$F$ の極が、開左半平面 $\operatorname{Re}s<0$ にあるか、または原点にあって単純であるならば、$f=\mathcal{L}^{-1}F$（系 7.7 の $f$）は $t\to\infty$ で $\lim_{s\downarrow0}sF(s)$ に収束する。

証明（定理 7.8）

$\int_0^\infty se^{-st}dt=1$ なので $sF(s)-c=\int_0^\infty se^{-st}(f(t)-c)\,dt$ です（$c$ は定数）。

1: $c=f(0+)$ とし、$\varepsilon>0$ に対し $\tau>0$ を $|f(t)-c|<\varepsilon$（$0<t\le\tau$）となるようにとります。$[0,\tau]$ の寄与は $\varepsilon\int_0^\tau se^{-st}dt\le\varepsilon$、$[\tau,\infty)$ の寄与は、$|f(t)-c|\le Me^{\omega t}+|c|$ から $\frac{sM}{s-\omega}e^{-(s-\omega)\tau}+|c|e^{-s\tau}\to0$（$s\to\infty$）です。よって $\limsup|sF(s)-c|\le\varepsilon$ です。

2: $c=L$ とします。$f$ は有界（指数位数で $t\to\infty$ で収束し、有界区間では区分的連続）で、$|f-L|\le B$ です。$\varepsilon>0$ に対し $T$ を $|f(t)-L|<\varepsilon$（$t\ge T$）とすると $|sF(s)-L|\le B\int_0^Tse^{-st}dt+\varepsilon\le B(1-e^{-sT})+\varepsilon\to\varepsilon$（$s\downarrow0$）です。

3: 系 7.7 により $f(t)=\sum_k\operatorname{Res}(Fe^{wt},s_k)$ で、$\operatorname{Re}s_k<0$ の極からの項は $t^je^{s_kt}$ の和で $t\to\infty$ で $0$ に収束します。原点が単純極なら、その留数 $c_{01}=\lim_{w\to0}wF(w)$ が $t$ によらない項で、$f(t)\to c_{01}=\lim_{s\downarrow0}sF(s)$ です。原点が極でなければ $\lim_{s\downarrow0}sF(s)=0$ で、$f(t)\to0$ です。

∎

例 7.9（仮定が必要な理由）

$f(t)=\sin t$ では $F(s)=\frac1{s^2+1}$、$sF(s)=\frac s{s^2+1}\to0$（$s\downarrow0$）ですが、$f$ は $t\to\infty$ で収束しません。極 $\pm i$ が虚軸上にあり、定理 7.8 の 3 の仮定を満たさないからです。最終値定理は、「$f(t)$ が収束する」ことを別に示してから使います。

8. 演習

演習 8.1易

$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ について $e^{tA}$ を求め、$x'=Ax$、$x(0)=(0,1)^{\mathsf T}$ を解け。

解答

$A=2I+N$（$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$N^2=0$）で、$2I$ と $N$ は可換なので $e^{tA}=e^{2t}(I+tN)=e^{2t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ です。解は $x(t)=e^{tA}(0,1)^{\mathsf T}=e^{2t}(t,1)^{\mathsf T}$ です。直接微分しても $x'=Ax$ を満たします。

演習 8.2標準

$y''+p(t)y'+q(t)y=0$（$p,q$ 連続）の 2 つの解 $y_1,y_2$ の Wronskian $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ は $W(t)=W(t_0)\exp\left(-\int_{t_0}^tp\right)$ を満たすことを示せ。

解答

$x=(y,y')^{\mathsf T}$ とすると $x'=\begin{pmatrix}0&1\\-q&-p\end{pmatrix}x$ で、$\Phi=(x_1,x_2)$ は基本解行列の候補、$\det\Phi=W$ です。$\operatorname{tr}A=-p$ なので 定理 2.3 から主張が従います。直接 $W'=y_1y_2''-y_1''y_2=-pW$ と計算しても確かめられます。

演習 8.3標準

Hill 方程式で $q(t)=\omega^2>0$ が定数（周期は任意の $T>0$）のとき、$\Delta(T)$ を求め、$|\Delta|\le2$ であることを確認せよ。また $q=-\kappa^2<0$ のとき 定理 6.1 の結論を述べよ。

解答

$C=M(T)$ で $\Delta=2\cos\omega T$ なので、$|\Delta|\le2$ です。$|\Delta|=2$ となるのは $\omega T\in\pi\mathbb{Z}$ のときで、このとき $C=\pm I$ なので 定理 6.1 の 3 から全解が有界です（事実、解は周期 $2\pi/\omega$ の単振動）。$q=-\kappa^2$ のときは $C=\begin{pmatrix}\cosh\kappa T&\kappa^{-1}\sinh\kappa T\\\kappa\sinh\kappa T&\cosh\kappa T\end{pmatrix}$ で $\Delta=2\cosh\kappa T>2$ なので、非有界な解（指数増大解 $e^{\kappa t}$）が存在します。

演習 8.4標準

$y''+y=f(t)$、$y(0)=y'(0)=0$（$f$ は連続で指数位数）の Laplace 変換を求め、$y(t)=\int_0^t\sin(t-\tau)f(\tau)\,d\tau$ を導け。これは 例 3.3 の公式と一致することを確認せよ。

解答

命題 7.2 の 2 から $(s^2+1)Y=\mathcal{L}f$、$Y=\frac1{s^2+1}\mathcal{L}f$ です。$\frac1{s^2+1}=\mathcal{L}[\sin t]$（7 と $\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$）で、畳み込み（6）から $Y=\mathcal{L}[\sin*f]$、一意性（8）から $y=\sin*f=\int_0^t\sin(t-\tau)f(\tau)\,d\tau$ です。例 3.3 の $\Phi(t)\Phi(s)^{-1}=\Phi(t-s)$ の第 1 行第 2 列は $\sin(t-s)$ で、同じ公式です。

演習 8.5易

$F(s)=\dfrac{1}{s(s+2)}$ について、$f=\mathcal{L}^{-1}F$ を求め、最終値定理（定理 7.8）の 2 と 3 を確かめよ。

解答

$F(s)=\frac12\bigl(\frac1s-\frac1{s+2}\bigr)$ なので $f(t)=\frac12(1-e^{-2t})$ です（命題 7.2 の 7）。$f(t)\to\frac12$（$t\to\infty$）、$sF(s)=\frac1{s+2}\to\frac12$（$s\downarrow0$）で、2 が確かめられます。極は $0$（単純）と $-2$ なので 3 の仮定を満たし、結論の極限は $\lim_{s\downarrow0}sF(s)=\frac12$ で一致します。初期値定理（1）では $sF(s)=\frac1{s+2}\to0=f(0)$ です。

参考文献

• E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955 — Chapter 3（線形系）、Chapter 3 §7（Floquet 理論）。
• D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press, 1941 — Laplace 変換の基本性質と反転公式の標準的な教科書。
• 笠原晧司『微分方程式の基礎』朝倉書店、1982 — 線形系と行列指数関数。
• V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer, 1992 — Chapter 3（線形系）。
• M. S. P. Eastham, The Spectral Theory of Periodic Differential Equations, Scottish Academic Press, 1973 — Hill 方程式の安定性領域。
• G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2012 — Chapter 3（線形方程式、Floquet 理論）。