Duhamel の原理

命題 3.4（「線形微分方程式系」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\Phi$ を $x'=A(t)x$ の基本解行列とし、 $b$ を $I$ 上の連続関数とする。各 $s\in I$ に対し、時刻 $s$ に初期値 $b(s)$ をもつ斉次系の解を $y_s$ （ $y_s'=A(t)y_s$ 、 $y_s(s)=b(s)$ ）とする。このとき、非斉次系 $x'=A(t)x+b(t)$ 、 $x(t_0)=0$ の解は

x(t)=\int_{t_0}^t y_s(t)\,ds

である。すなわち、外力 $b$ の効果は、各時刻 $s$ に加えた瞬間的な力 $b(s)\,ds$ が、その後は系の自由な発展 $y_s$ に従って伝わっていく効果の重ね合わせである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
定数変化法✓定理 3.1・線形微分方程式系
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Duhamel の原理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）