微分積分学の基本定理（第一部）

定理 5.2（「積分の基本定理と定積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を可積分な関数とする（定義 3.1 により $f$ は有界である）。命題 4.1 (3) により $f$ は各 $[a,x]$ で可積分なので

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \qquad (x \in [a,b])

が定義できる。このとき次が成り立つ。

(1) $M = \sup_{[a,b]} |f|$ とおくと、任意の $x, y \in [a,b]$ に対し $|F(y) - F(x)| \le M\,|y - x|$ 。とくに $F$ は $[a,b]$ 上リプシッツ連続であり、連続である。

(2) $f$ が点 $c \in [a,b]$ で連続ならば、 $F$ は $c$ で微分可能で $F'(c) = f(c)$ である（ $c$ が端点のときは片側微分係数）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分
- 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
  - 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分

ReLU の MLP は区分線形✓命題 8.1・Transformer ブロック
ディリクレの判定法✓定理 2.6・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
変数分離形の解法✓命題 5.1・積分の応用
積分で表された関数の微分✓定理 2.2・積分法
変数分離形の解✓定理 3.1・常微分方程式の初等解法
1 階線形方程式の解の公式✓定理 4.2・常微分方程式の初等解法
初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
共分散のパラメータについての微分（原論文の (V.A.6)）✓補題 2.5・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
有限次元の Gauss 期待値の共分散についての微分✓補題 4.8・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
大場条件の段関数✓補題 5.2・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1