細分による単調性

補題 2.3（「積分の基本定理と定積分」§2）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を $[a,b]$ 上の有界関数とする。

(1) 分割 $\Delta'$ が $\Delta$ の細分（ $\Delta$ の分点をすべて含む分割）ならば

s(\Delta, f) \le s(\Delta', f) \le S(\Delta', f) \le S(\Delta, f).

(2) $[a,b]$ の任意の 2 つの分割 $\Delta_1, \Delta_2$ に対し $s(\Delta_1, f) \le S(\Delta_2, f)$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。