数学 › 微分積分学 › 積分の基本定理と定積分

定積分の基本性質

命題 4.1（「積分の基本定理と定積分」§4） ・ ✓公理まで証明済み

f,gf, g を [a,b][a,b] 上の可積分関数、α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} とする。

(1)（線形性） αf+βg\alpha f + \beta g は [a,b][a,b] で可積分で

∫ab(αf(x)+βg(x))dx=α∫abf(x) dx+β∫abg(x) dx.\int_a^b \bigl( \alpha f(x) + \beta g(x) \bigr) dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx .

(2)（単調性） [a,b][a,b] 上つねに f(x)≤g(x)f(x) \le g(x) ならば ∫abf≤∫abg\int_a^b f \le \int_a^b g。また ∣f∣|f| も可積分で ∣∫abf∣≤∫ab∣f∣\left| \int_a^b f \right| \le \int_a^b |f| が成り立つ。

(3)（区間加法性） a<c<ba < c < b とする。ff が [a,b][a,b] で可積分であることと、ff が [a,c][a,c] と [c,b][c,b] の両方で可積分であることは同値であり、そのとき

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 14 件

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