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コーシーの積分判定法

定理 5.1（「級数と収束判定」§5） ・ ✓公理まで証明済み

関数 f:[1,∞)→Rf : [1, \infty) \to \mathbb{R} が、すべての x≥1x \ge 1 で f(x)≥0f(x) \ge 0 を満たし、単調減少（x≤yx \le y ならば f(x)≥f(y)f(x) \ge f(y)）であるとする。このとき、

  1. 級数 ∑n=1∞f(n)\sum_{n=1}^{\infty} f(n) が収束することと、広義積分 ∫1∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫1bf(x) dx\displaystyle\int_1^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} f(x)\,dx が有限の値に収束することは同値である。
  2. 収束する場合、任意の N≥1N \ge 1 について尾部が
∫N+1∞f(x) dx  ≤  ∑n=N+1∞f(n)  ≤  ∫N∞f(x) dx\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \;\le\; \sum_{n=N+1}^{\infty} f(n) \;\le\; \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx

で評価される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件