上積分・下積分とリーマン可積分性

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を有界関数とし、$[a,b]$ の分割全体のなす集合を $\mathcal{P}$ と書く。

をそれぞれ $f$ の 上積分、下積分 という。

$\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f$ が成り立つとき、$f$ は $[a,b]$ で リーマン可積分（以下、単に可積分）であるといい、この共通の値を $\int_a^b f(x)\,dx$ と書いて $f$ の $[a,b]$ 上の 定積分 という。