ダルブーの定理

補題 7.5（「積分の基本定理と定積分」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を有界関数とする。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在し、 $|\Delta| < \delta$ を満たすすべての分割 $\Delta$ について

S(\Delta, f) < \overline{\int_a^b} f + \varepsilon, \qquad s(\Delta, f) > \underline{\int_a^b} f - \varepsilon

が成り立つ。とくに $f$ が可積分ならば、幅が $0$ に収束するタグ付き分割の任意の列に沿って、リーマン和は $\int_a^b f(x)\,dx$ に収束する。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
  - 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。