Wallis 積分

定理 6.1（「積分法」§6）・ ✓公理まで証明済み

$W_0=\dfrac\pi2$ 、 $W_1=1$ 、 $nW_n=(n-1)W_{n-2}$ （ $n\ge2$ ）。
$W_{2m}=\dfrac\pi2\displaystyle\prod_{k=1}^m\dfrac{2k-1}{2k}$ 、 $W_{2m+1}=\displaystyle\prod_{k=1}^m\dfrac{2k}{2k+1}$ （ $m\ge0$ 。空の積は $1$ ）。
すべての $n$ で $W_n>0$ で、 $W_{n+1}\le W_n$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 86 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

部分積分✓定理 6.2・積分の基本定理と定積分
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分
  - ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
    一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - 分割とダルブー和定義 2.1・積分の基本定理と定積分
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
  - exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - ライプニッツの交項級数判定法✓定理 7.3・級数と収束判定この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →
  - 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
  - cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束この先をたどる →
定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
  - 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
特別な角の三角関数の値✓命題 3.2・三角関数
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 倍角・半角・3 倍角の公式✓系 4.2・三角関数
  - 加法定理（高校の形）✓定理 4.1・三角関数この先をたどる →
  - 三角関数の基本性質✓命題 3.1・三角関数この先をたどる →
- 累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数
  - 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →
  - 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
- 三角関数の基本性質✓命題 3.1・三角関数この先をたどる →

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Wallis の積✓定理 6.2・積分法

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