数学 › 解析学（実解析） › 関数列と一様収束

ワイエルシュトラスの M 判定法

系 6.4（「関数列と一様収束」§6）・ ✓公理まで証明済み

$u_n \colon E \to \mathbb{R}$ （ $n \in \mathbb{N}$ ）とし、定数 $M_n \ge 0$ が存在して

|u_n(x)| \le M_n \quad (\forall x \in E, \ \forall n \in \mathbb{N}), \qquad \sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty

を満たすとする。このとき級数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ は各 $x \in E$ で絶対収束し、部分和の列 $s_N = \sum_{n=1}^{N} u_n$ は $E$ 上一様収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
- 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
    単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列

これを使っている定理証明で参照している 9 件

Fourier 係数が絶対総和可能な関数✓補題 2.2・スペクトル法
正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数
区分的に C¹ な連続関数✓命題 5.4・フーリエ級数
Fourier 級数の項別積分✓命題 5.5・フーリエ級数
一般二項定理✓定理 9.2・微分法とその応用
指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
弦の振動の変数分離解✓定理 7.2・Sturm–Liouville 問題と Green 関数
熱伝導の変数分離解✓定理 7.4・Sturm–Liouville 問題と Green 関数

関連するノック 3 問