指数関数の基本性質

定理 3.3（「指数・対数・三角関数をきちんと定義する」§3）・ ✓公理まで証明済み

（収束）任意の実数 $x$ に対し、級数 $\sum x^k/k!$ は絶対収束する。さらに、任意の $R>0$ に対し、部分和 $P_N(x)=\sum_{k=0}^Nx^k/k!$ は $[-R,R]$ 上で $\exp$ に一様収束する。
（加法性） $\exp(x+y)=\exp x\cdot\exp y$ 、 $\exp0=1$ 。
（微分） $\exp$ は $\mathbb R$ 上微分可能で $\exp'=\exp$ 。とくに連続である。
（単調性と値域）すべての $x$ で $\exp x>0$ 。 $\exp$ は狭義単調増加で、 $x\ge0$ では $\exp x\ge1+x$ 。値域は $(0,\infty)$ であり、 $\exp:\mathbb R\to(0,\infty)$ は全単射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 43 件、定義なども含めて 56 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
- 上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
- 等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定
  - 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定（上で展開済み）
- 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定
  - 無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定
ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
- ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定（上で展開済み）
- 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
    級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面この先をたどる →
  - 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面この先をたどる →
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
- 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か

これを使っている定理証明で参照している 12 件

softmax の基本性質✓命題 3.1・自己注意
マスクは極限として正当化できる✓命題 3.3・自己注意
不安定なテストを含む検査が落ちる確率✓定理 4.1・継続的インテグレーション
指数関数の基本極限✓補題 5.4・導関数の定義と基本的な微分法
基本関数の導関数✓定理 5.5・導関数の定義と基本的な微分法
p 級数✓系 5.2・級数と収束判定
指数関数の増加の速さ✓命題 5.1・微分法とその応用
自然対数の性質✓定理 4.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
$a^x =$ exp(x log a)✓定理 4.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
双曲線関数の恒等式と媒介変数表示✓命題 11.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
Gabriel のラッパ：体積は有限、表面積は無限✓定理 4.5・積分の応用
ロジスティック方程式の解✓定理 5.5・積分の応用

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