基本関数の導関数

定理 5.5（「導関数の定義と基本的な微分法」§5）・ ✓公理まで証明済み

次が成り立ちます。

(1) $n$ を正の整数とし $f(x)=x^n$ （ $x \in \mathbb{R}$ ）とすると、 $f$ は $\mathbb{R}$ の各点で微分可能で $f'(x) = n x^{n-1}$ です。ここで $n=1$ のときは $x^0 = 1$ （ $x=0$ でも $1$ ）と約束します。

(2) $\sin$ は $\mathbb{R}$ の各点で微分可能で $(\sin)'(x) = \cos x$ です。

(3) $\cos$ は $\mathbb{R}$ の各点で微分可能で $(\cos)'(x) = -\sin x$ です。

(4) $\exp$ は $\mathbb{R}$ の各点で微分可能で $(\exp)'(x) = \exp(x) = e^x$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 50 件、定義なども含めて 64 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

余弦・正弦（べき級数による定義）定義 6.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
    微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束この先をたどる →
三角関数の基本極限✓補題 5.1・導関数の定義と基本的な微分法
- sin x / x の極限✓定理 8.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
  - ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定この先をたどる →
  - 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
- exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
  - 上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
  - 等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定この先をたどる →
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
  - 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束（上で展開済み）
- 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面（上で展開済み）
- 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束（上で展開済み）
- 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
指数関数の基本極限✓補題 5.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
  - 級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定この先をたどる →
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →

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指数級数✓補題 4.1・精度の選び方

基本関数の導関数

閉包の状態

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