上極限・下極限の基本性質

$\alpha = \limsup_{n\to\infty} x_n$ が有限のとき、次が成り立つ。

(a) $r > \alpha$ ならば、ある $N$ が存在して $n \ge N$ のすべてで $x_n < r$。

(b) $r < \alpha$ ならば、$x_n > r$ となる $n$ が無限個ある。

また $\beta = \liminf_{n\to\infty} x_n$ が有限のとき、(a’) $r < \beta$ ならば、ある $N$ が存在して $n \ge N$ のすべてで $x_n > r$。

さらに (b) は $\alpha = +\infty$ のときも（任意の実数 $r$ について）、(a’) は $\beta = +\infty$ のときも成り立つ。