コーシーの根判定法

定理 6.1（「級数と収束判定」§6）・ ✓公理まで証明済み

数列 $(a_n)$ に対し $\alpha = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$ とおく（定義 2.2）。

$\alpha < 1$ ならば $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ は収束する（したがって定理 7.2 より $\sum a_n$ も収束する）。
$\alpha > 1$ ならば $a_n$ は $0$ に収束せず、 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する。
$\alpha = 1$ のときは、収束することも発散することもあり、この判定法だけでは決まらない。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定
- 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定（上で展開済み）
比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
- 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定
- 無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定
累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数
- 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
  - 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性この先をたどる →
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
上極限定義 2.2・級数と収束判定

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。