極限の四則

$A \subseteq \mathbb{R}$、$f, g : A \to \mathbb{R}$、$a$ を $A$ の集積点とし、$\lim_{x\to a} f(x) = L$、$\lim_{x \to a} g(x) = M$ とする。このとき次が成り立つ。

1. $\lim_{x\to a} \bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M$。
2. 任意の定数 $c \in \mathbb{R}$ に対し $\lim_{x\to a} c\,f(x) = cL$。
3. $\lim_{x\to a} f(x)g(x) = LM$。
4. さらに $M \ne 0$ ならば、ある $\delta_1 > 0$ が存在して $x \in U^{*}_{\delta_1}(a) \cap A$ では $g(x) \ne 0$ であり、$B = U^{*}_{\delta_1}(a) \cap A$ 上で定義された関数 $f/g$ について $\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ が成り立つ。