数学 › 微分積分学 › 平均値の定理とテイラーの定理

最大値・最小値の定理

定理 2.3（「平均値の定理とテイラーの定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$a < b$ とし、 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ が $[a,b]$ 上連続であるとします。このとき $x_M, x_m \in [a,b]$ が存在して、すべての $x \in [a,b]$ に対して

f(x_m) \le f(x) \le f(x_M)

が成り立ちます。すなわち $f$ は $[a,b]$ 上で最大値と最小値をとります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性
- 有界性定理✓定理 4.1・連続関数と一様連続性
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性
  - 区間縮小法✓補題 2.1・連続関数と一様連続性
- 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
- 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
- 収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性

これを使っている定理証明で参照している 9 件

連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分
ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
ダルブーの定理（導関数の中間値性）✓定理 3.5・平均値の定理とテイラーの定理
核が符号を変えない場合✓系 3.3・数値積分 I
複合則の誤差✓系 4.3・数値積分 I
Gauss 求積の誤差公式✓定理 6.1・数値積分 I
Newton 法の局所 2 次収束✓定理 5.1・非線形方程式の反復解法
重根での Newton 法と修正 Newton 法✓命題 5.4・非線形方程式の反復解法
最小二乗問題の感度✓定理 6.2・最小二乗問題