重根での Newton 法と修正 Newton 法

命題 5.4（「非線形方程式の反復解法」§5）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を開区間、 $x^* \in I$ 、 $m \ge 2$ を整数とし、 $f(x) = (x - x^*)^m h(x)$ （ $h : I \to \mathbb{R}$ は $C^1$ 級、 $h(x^*) \ne 0$ ）とする。

$\delta \gt 0$ があって、 $x_0 \in [x^* - \delta, x^* + \delta]$ から Newton 法の列は定義されて $x^*$ に収束し、すべての $k$ で $e_k \ne 0$ なら $e_{k+1}/e_k \to (m-1)/m$ である。すなわち 1 次収束で、漸近誤差定数は $(m-1)/m$ である。
重複度 $m$ を掛けた修正 Newton 法 $x_{k+1} = x_k - m f(x_k)/f'(x_k)$ では、 $\delta$ を小さく取り直せば列は $x^*$ に収束し、すべての $k$ で $e_k \ne 0$ なら $\frac{e_{k+1}}{e_k^2} \to \frac{h'(x^*)}{m\, h(x^*)}$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。