数値解析の基礎

数学学部無料 6 章有料 0 章

計算機の上で実数の問題を解くときに生じる誤差を、丸め誤差（浮動小数点数）と打ち切り誤差（離散化・反復の停止）に分け、

想定読者: 学部生（2〜4 年）、研究や実務で数値計算を使う人

前提テーマ:微分積分学、線形代数学、解析学（実解析）

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章浮動小数点数と丸め誤差無料IEEE 754 の 2 進形式と正しい丸めの規約から四則の標準モデルを導き、Sterbenz の補題と桁落ち、逐次和・対ごとの和の誤差評価、Horner 法の後退誤差を証明する。binary32 の和と 1−cos x の数値例で評価を確かめる。
2. 第 2 章条件数と安定性：前進誤差と後退誤差無料問題の感度を表す相対条件数と、アルゴリズムの良さを表す後退誤差を区別し、前進誤差が条件数と後退誤差の積で抑えられることを平均値不等式から証明する。単根の摂動と Wilkinson の多項式、log1p、2 次方程式、分散の計算法を数値で確かめる。
3. 第 3 章非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法無料二分法の誤差評価、不動点反復の大域・局所収束、Newton 法の局所 2 次収束と重根での 1 次収束、割線法の黄金比の次数、多変数の Newton 法と Kantorovich 型の存在定理を、Taylor の定理と縮小写像の原理から証明する。
4. 第 4 章多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点無料補間多項式の存在と一意性、Newton 形と差分商、Rolle の定理による誤差公式と Hermite 補間を証明し、Lebesgue 定数で等間隔点の指数的な不安定さと Chebyshev 点の対数的な良さを評価する。
5. 第 5 章数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積無料求積則の精度次数と補間型求積、Peano 核定理による台形則・Simpson 則の誤差公式と複合則の次数、Pólya–Steklov の収束定理、Hermite 補間による Gauss 求積の誤差公式と収束を証明し、Newton–Cotes の負の重みを正確に計算する。
6. 第 6 章数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・Richardson 外挿・Romberg 法無料複合台形則の誤差が刻みの偶数冪で展開されることを Euler–Maclaurin の公式から示し、周期関数での指数収束、Richardson 外挿と Romberg 表の誤差、2 つの刻みによる誤差の推定、数値微分の丸め誤差と最適な刻みを証明する。