数値解析の基礎 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜6 章の内容（浮動小数点数、条件数と後退誤差、反復法、多項式補間、Newton–Cotes 則と Gauss 求積、Romberg 法）を学部 2〜3 年の微積分・線形代数の水準で一通り読んだ人。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• L. N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, Extended Edition, SIAM
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics, 2nd ed., Springer
• J. Stoer, R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, 3rd ed., Springer
• P. J. Davis, P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic Press

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜8: 浮動小数点数と丸め誤差
• 9〜16: 条件数と安定性
• 17〜29: 非線形方程式の反復解法
• 30〜37: 多項式補間
• 38〜45: 数値積分 I（Newton–Cotes 則と Gauss 求積）
• 46〜50: 数値積分 II（外挿と Romberg 法）

形式: 単一選択 12・複数選択 8・○× 5・数値 13・並べ替え 3・誤り探し 5・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 7 / 20 / 22 / 1。

この冊で使う定義・定理（60）

• 定理 5.7 中間値の定理 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む → 42 番
• 定理 5.3 テイラーの定理（ラグランジュの剰余） 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する → 24 番
• 定理 9.7 平均値不等式（ベクトル値） 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである → 14 番
• 定義 4.2 後退安定と混合安定 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 12, 16 番
• 定義 2.1 相対条件数 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 9, 10 番
• 例 5.3 外積の計算は後退安定でない 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 12 番
• 例 3.2 Wilkinson の多項式 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 13 番
• 命題 2.2 微分可能な問題の条件数 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 9, 10, 14, 16 番
• 命題 5.2 多項式の値の条件数と Horner 法の前進誤差 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 11 番
• 命題 3.1 単根の摂動 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 13, 15 番
• 定理 4.3 前進誤差と後退誤差の関係 条件数と安定性：前進誤差と後退誤差で数値計算の精度を読む → 12, 14, 16 番
• 系 4.3 外挿表の誤差 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 47 番
• 定義 5.1 Romberg 表 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 47 番
• 補題 3.1 帯状領域で正則な周期関数の Fourier 係数 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 49 番
• 命題 7.1 中心差分の打ち切り誤差と丸め誤差 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 48 番
• 命題 5.3 Romberg 表の第 1 列は複合 Simpson 則 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 47 番
• 定理 3.2 周期関数の台形則 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 49, 50 番
• 定理 4.2 Richardson 外挿 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 46 番
• 定理 5.2 Romberg 表の誤差 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 47 番
• 定理 2.1 複合台形則の漸近展開 数値積分 II：Euler–Maclaurin 展開・周期関数の台形則・Richardson 外挿・Romberg 法 → 46 番
• 系 3.1 四則の標準モデル 浮動小数点数と丸め誤差：IEEE 754・標準モデル・和と Horner 法の誤差解析 → 6, 7 番
• 定義 2.2 丸めの方向と正しい丸め 浮動小数点数と丸め誤差：IEEE 754・標準モデル・和と Horner 法の誤差解析 → 4, 5, 8 番
• 定義 2.1 IEEE 754 の 2 進交換形式 浮動小数点数と丸め誤差：IEEE 754・標準モデル・和と Horner 法の誤差解析 → 1, 2, 3, 4, 8 番
• 定義 2.3 機械イプシロンと単位丸め 浮動小数点数と丸め誤差：IEEE 754・標準モデル・和と Horner 法の誤差解析 → 1, 2, 5, 7, 8 番
• 補題 3.2 γₙ の計算規則 浮動小数点数と丸め誤差：IEEE 754・標準モデル・和と Horner 法の誤差解析 → 6 番
• 補題 4.1 Sterbenz の補題 浮動小数点数と丸め誤差：IEEE 754・標準モデル・和と Horner 法の誤差解析 → 5 番
• 定理 6.1 Horner 法の後退誤差 浮動小数点数と丸め誤差：IEEE 754・標準モデル・和と Horner 法の誤差解析 → 11 番
• 系 4.3 複合則の誤差 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 38, 40 番
• 系 6.2 Gauss 求積の収束 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 41, 45 番
• 系 3.3 核が符号を変えない場合 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 42 番
• 定義 2.2 精度次数 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 39, 43 番
• 例 5.3 Newton–Cotes 則の負の重み 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 41, 45 番
• 命題 2.3 補間型求積 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 41 番
• 定理 6.1 Gauss 求積の誤差公式 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 39, 44 番
• 定理 3.2 Peano 核定理 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 42, 43 番
• 定理 5.2 Pólya–Steklov の定理 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 41, 45 番
• 定理 4.1 中点則・台形則・Simpson 則の誤差 数値積分 I：Newton–Cotes 則と Gauss 求積の誤差を Peano 核で証明する → 39, 43 番
• 定義 2.1 収束の次数（Q 次数）と漸近誤差定数 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 18, 20, 25 番
• 定義 2.2 R 次数 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 25 番
• 例 5.2 √2 の Newton 法 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 22 番
• 命題 5.4 重根での Newton 法と修正 Newton 法 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 21, 23 番
• 定理 3.1 二分法の収束 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 17 番
• 定理 4.1 不動点反復の大域収束と誤差評価 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 19, 26 番
• 定理 4.3 不動点反復の局所収束と次数 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 19, 20 番
• 定理 7.4 Kantorovich 型の存在と一意性（簡易 Newton 法） 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 29 番
• 定理 5.3 凸関数での Newton 法の単調な大域収束 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 21, 27 番
• 定理 5.1 Newton 法の局所 2 次収束 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 21, 22, 23, 24, 27 番
• 定理 6.2 割線法の局所収束 非線形方程式の反復解法：二分法・不動点反復・Newton 法・割線法の収束を証明する → 28 番
• 系 6.3 Chebyshev 点での補間誤差 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 33 番
• 定義 5.1 Lebesgue 関数と Lebesgue 定数 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 32, 36 番
• 補題 3.4 Rolle の定理の繰り返し 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 34 番
• 命題 3.2 差分商の対称性と陽な表示 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 37 番
• 命題 5.4 等間隔点の Lebesgue 定数の下界 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 32, 35 番
• 定理 6.5 Chebyshev 点の Lebesgue 定数の上界 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 32, 35 番
• 定理 6.2 Chebyshev 多項式の最小最大性 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 33 番
• 定理 3.5 差分商の平均値定理 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 37 番
• 定理 4.1 補間誤差の公式 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 31, 34 番
• 定理 2.2 補間多項式の存在と一意性 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 30 番
• 定理 5.2 Lebesgue 定数による誤差の評価 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 32, 36 番
• 定理 3.3 Newton 形と差分商の漸化式 多項式補間：誤差公式・Runge 現象・Chebyshev 点と Lebesgue 定数 → 30 番