数理統計学 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜4 章の統計モデル、十分統計量、最尤推定、仮説検定、線形モデルを一通り読んだ学部生。計算と仮定の確認を問う問題に取り組める人。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• G. Casella, R. L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed.
• E. L. Lehmann, G. Casella, Theory of Point Estimation, 2nd ed.
• E. L. Lehmann, J. P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed.
• 竹村彰通『現代数理統計学』

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜13: 統計モデルと十分統計量
• 14〜26: 点推定と漸近理論
• 27〜38: 検定と区間推定
• 39〜50: 線形モデル

形式: 単一選択 15・複数選択 8・○× 5・数値 10・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 8 / 23 / 17 / 2。

この冊で使う定義・定理（69）

• 定義 6.1 信頼集合 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 36 番
• 定義 5.1 尤度比検定統計量 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 33, 38 番
• 定義 3.1 尤度比検定（Neyman–Pearson 型） 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 28 番
• 定義 4.2 単調尤度比 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 31, 35 番
• 定義 2.1 検定問題・検定関数・水準・検出力 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 27, 29, 30 番
• 定義 4.1 UMP 検定 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 31, 32 番
• 例 5.3 二項比率の 3 つの検定統計量 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 37 番
• 例 3.3 正規分布の平均の検定（分散既知） 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 29, 32 番
• 例 6.4 小標本での比率の信頼区間 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 37 番
• 補題 4.3 MLR のもとでの検出力の単調性 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 35 番
• 命題 2.2 $p$ 値の一様性 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 27 番
• 注意 5.4 一般の入れ子仮説 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 33 番
• 定理 6.3 漸近信頼区間 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 34, 37 番
• 定理 6.2 検定と信頼集合の双対性 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 36 番
• 定理 4.4 Karlin–Rubin の定理 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 31, 35 番
• 定理 3.2 Neyman–Pearson の補題 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 28, 30, 32 番
• 定理 5.2 Wilks の定理 検定と区間推定：Neyman–Pearson の補題、一様最強力検定、尤度比検定と Wilks の定理 → 33, 38 番
• 定義 4.1 カイ二乗分布・t 分布・F 分布 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 44 番
• 定義 2.1 線形モデル 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 39, 40, 50 番
• 例 5.4 一元配置分散分析 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 46 番
• 例 6.3 AR(1) 過程の有効標本数 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 48, 49 番
• 例 5.3 2 つの係数を加えたモデルの比較 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 47 番
• 例 2.3 単回帰 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 41 番
• 例 5.2 1 個の係数の検定では $F=t^2$ 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 46 番
• 命題 4.2 カイ二乗分布の密度 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 3 番
• 注意 3.2 BLUE が最良とは限らない 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 43 番
• 定理 4.3 Cochran の定理 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 44 番
• 定理 6.2 相関のあるデータの平均の分散 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 48, 49 番
• 定理 5.1 入れ子モデルの F 検定 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 44, 46, 47 番
• 定理 3.1 Gauss–Markov の定理 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 41, 42, 43, 45, 50 番
• 定理 6.1 一般化最小二乗（Aitken） 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 48, 50 番
• 定理 2.2 最小二乗推定量と射影 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 39, 40, 45 番
• 定理 4.4 正規線形モデルの標本分布 線形モデル：最小二乗、Gauss–Markov の定理、Cochran の定理と t 検定・F 検定 → 42 番
• 定義 5.1 完備統計量 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 9, 12 番
• 定義 2.2 統計量・推定量・偏り・平均二乗誤差 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 1, 2, 3 番
• 定義 4.1 指数型分布族 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 7 番
• 定義 3.1 十分統計量 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 4 番
• 例 4.3 代表的な指数型分布族 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 7 番
• 例 3.3 十分統計量の例 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 5 番
• 例 5.3 一様分布の最大値の完備性 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 13 番
• 例 6.5 一様分布 $U(0,\theta)$ で $\theta$ を推定する 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 19 番
• 命題 4.4 i.i.d. 標本の十分統計量 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 5, 6 番
• 命題 2.3 平均二乗誤差の分解 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 1, 2, 3, 43 番
• 定理 5.4 指数型分布族の完備性 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 8, 11 番
• 定理 4.5 自然統計量の平均と分散 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 6, 26 番
• 定理 3.2 因子分解定理（Fisher–Neyman） 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 4, 5 番
• 定理 6.2 Lehmann–Scheffé の定理 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 8, 9, 10, 11, 12, 13 番
• 定理 6.1 Rao–Blackwell の定理 統計モデルと十分統計量：指数型分布族から Rao–Blackwell と Lehmann–Scheffé まで → 10, 12 番
• 系 8.4 ベイズ推定量の漸近分布 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 24 番
• 定義 2.1 尤度・対数尤度・スコア・最尤推定量 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 14, 15, 26 番
• 定義 3.1 正則条件（R） 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 16, 19 番
• 例 4.2 下界に達する例と達しない例 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 19 番
• 例 3.4 代表的な分布の Fisher 情報 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 17, 18 番
• 例 2.2 基本的な最尤推定量 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 14, 15 番
• 例 8.5 正規分布の平均の共役事前分布 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 25 番
• 例 7.2 分散安定化変換 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 21 番
• 補題 3.2 スコアの平均と分散 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 16, 23 番
• 命題 3.3 Fisher 情報の変換則 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 16, 18 番
• 注意 5.3 根が 1 つなら MLE そのもの 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 20, 26 番
• 定理 6.1 MLE の漸近正規性 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 23, 34 番
• 定理 8.2 二乗損失のベイズ推定量は事後平均 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 24, 25 番
• 定理 8.3 ベータ–二項モデル 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 24 番
• 定理 5.2 尤度方程式の一致する根の存在（Cramér） 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 20 番
• 定理 4.1 Cramér–Rao の不等式 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 17, 19 番
• 定理 7.1 delta 法 点推定と漸近理論：最尤推定、Cramér–Rao の下界、漸近正規性、delta 法、ベイズ推定 → 21, 22 番
• 定理 5.1 条件付き期待値は直交射影 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する → 10 番
• 命題 6.1 スルツキーの定理 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか → 23, 34 番
• 定理 5.6 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ） 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか → 22 番
• 系 2.5 連続写像定理 確率測度の弱収束：Portmanteau・Prokhorov・Skorokhod の表現定理 → 22 番