Lie 群と Lie 環の表現論 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの第 1〜6 章に対応し、行列 Lie 群・BCH 公式、Lie 環の構造論、ルート系、最高ウェイト理論、Young 図形、Lorentz・Poincaré 群の表現を一通り学んだ修士課程レベルの人。計算と仮定の吟味を扱います。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2nd ed., Springer GTM 222
• J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer GTM 9
• W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer GTM 129

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 行列 Lie 群と指数写像
• 10〜18: Lie 環の構造論
• 19〜26: ルート系と Weyl 群
• 27〜35: 最高ウェイト理論
• 36〜43: SU(N) の表現と Young 図形
• 44〜50: Lorentz 群・Poincaré 群の表現

形式: 単一選択 16・複数選択 8・○× 6・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 15 / 28 / 7。

この冊で使う定義・定理（84）

• 系 2.2 部分環への分解 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 30 番
• 系 6.5 Weyl の次元公式 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 27, 35 番
• 例 6.6 sl(3) の表現の次元 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 27 番
• 例 4.3 sl(2) の Verma 加群 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 15, 29 番
• 演習 8.2 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 35 番
• 演習 8.1 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 15, 29 番
• 補題 6.2 Casimir 元の固有値 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 28, 34 番
• 命題 3.3 最高ウェイト加群の性質 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 33 番
• 定理 5.1 有限次元既約表現の分類（最高ウェイト定理） 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 31, 33 番
• 定理 2.1 Poincaré–Birkhoff–Witt の定理 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 30 番
• 定理 4.2 Verma 加群の構造と普遍性 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 29, 32 番
• 定理 7.1 Weyl の積分公式（U(N)・SU(N)） 最高ウェイト理論：PBW の定理・Verma 加群・Weyl の指標公式と積分公式 → 42 番
• 系 7.1 質量正・質量ゼロの粒子表現 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 48, 49 番
• 定義 5.2 誘導表現 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 50 番
• 例 4.2 (½,½) は 4 元ベクトル表現 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 45 番
• 演習 8.3 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 48, 50 番
• 演習 8.2 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 47 番
• 演習 8.1 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 46 番
• 補題 3.1 sl(2,C) の複素化 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 46 番
• 補題 6.4 左不変な可測関数は定数 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 49 番
• 補題 3.2 直和 Lie 環の既約表現 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 47 番
• 定理 6.5 誘導表現の既約性と同値類 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 48, 49 番
• 定理 5.3 誘導表現は強連続ユニタリ表現 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 50 番
• 定理 4.1 SL(2,C) の有限次元表現の分類 Lorentz 群・Poincaré 群の表現：SL(2,C) の有限次元表現と Wigner–Mackey の誘導表現 → 44, 45 番
• 系 5.2 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 5 番
• 定義 3.1 行列 Lie 群とその Lie 環 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 1, 2, 9 番
• 例 5.4 随伴表現の微分は ad 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 7 番
• 例 3.3 古典群の Lie 環 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 2 番
• 例 6.3 Heisenberg 群では BCH 公式が 2 次で終わる 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 3, 9 番
• 補題 2.1 指数関数と対数関数の基本性質 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 4, 8, 9 番
• 補題 4.4 連続な 1 径数部分群 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 4, 6 番
• 命題 2.2 Lie–Trotter の積公式 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 8 番
• 注意 4.3 閉性を落とすと何が壊れるか 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 1 番
• 定理 6.2 BCH 公式（積分表示と収束域） 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 3, 4 番
• 定理 5.1 連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 5, 6, 46 番
• 定理 7.1 単連結な群への持ち上げ（Lie の第 2 定理） 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 5, 6 番
• 定理 8.2 SU(2) は SO(3) の普遍被覆 行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群 → 5, 7 番
• 定義 5.1 基底（単純ルート） ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 24 番
• 定義 2.1 トーラス部分環と Cartan 部分環 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 25 番
• 定義 4.1 ルート系 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 24 番
• 例 7.9 A_{n−1}：sl(n,C) のルート系と対称群 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 20, 26 番
• 例 7.2 B₂ の Cartan 行列と α 鎖 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 22, 26, 35 番
• 例 2.6 sl(n,C) のルート ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 32 番
• 演習 8.2 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 26 番
• 演習 8.3 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 11 番
• 演習 8.1 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 21 番
• 補題 6.1 削除条件 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 20 番
• 補題 5.3 単純鏡映は他の正ルートを置換する ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 24 番
• 補題 2.2 トーラス部分環は可換 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 25 番
• 命題 7.1 Cartan 行列はルート系を決める ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 22 番
• 命題 6.4 支配的な代表元 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 23, 33 番
• 命題 4.3 2 つのルートの位置関係 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 21, 22 番
• 命題 3.1 各ルートに付随する sl(2) ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 28, 31, 34 番
• 定理 2.4 Cartan 部分環は自分の中心化環に一致する ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 19 番
• 定理 7.7 既約ルート系の分類 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 19, 23 番
• 定理 3.2 ルートの整数性と鎖の性質 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 19, 21 番
• 定理 6.2 Weyl 群の基本定理 ルート系と Weyl 群：Cartan 部分環・ルート空間分解から Dynkin 図まで → 20, 23 番
• 系 4.3 Engel の定理 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 14 番
• 系 10.2 sl(2,C) の有限次元加群の構造 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 17, 31 番
• 系 5.2 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 14 番
• 定義 7.3 Killing 形式 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 10, 16 番
• 定義 3.1 可解・冪零・半単純 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 14 番
• 例 7.4 sl(2,C) の Killing 形式 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 10, 28 番
• 演習 11.2 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 11 番
• 演習 11.1 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 11, 18 番
• 演習 11.3 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 47 番
• 補題 9.1 Casimir 作用素の性質 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 13 番
• 注意 9.4 コンパクト群の Lie 環との関係 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 16, 46 番
• 定理 8.4 抽象 Jordan 分解 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 25 番
• 定理 8.3 半単純 Lie 環の微分は内部微分 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 18 番
• 定理 4.2 Engel の定理（線形版） Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 12 番
• 定理 5.1 Lie の定理 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 12 番
• 定理 8.1 半単純性と Killing 形式 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 11, 16, 18 番
• 定理 10.1 sl(2,C) の既約表現の分類 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 13, 15, 17 番
• 定理 9.2 Weyl の完全可約性定理 Lie 環の構造論：Engel・Lie の定理、Killing 形式と Cartan の判定法、Weyl の完全可約性 → 17 番
• 系 6.4 Schur 多項式の組合せ論的表示と Littlewood–Richardson 則 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 39, 41 番
• 系 5.2 次元公式 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 36, 38, 40, 41 番
• 定義 2.1 Schur 多項式 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 39, 40, 42, 43 番
• 例 6.5 LR 係数が 2 になる例 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 41 番
• 演習 7.2 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 37 番
• 注意 4.3 Schur–Weyl 双対性の使われ方 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 38 番
• 定理 4.2 Schur–Weyl 双対性 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 37, 38 番
• 定理 5.1 U(N) の既約表現の分類 SU(N) の表現と Young 図形：Specht 加群・Schur–Weyl 双対性・Schur 多項式・Littlewood–Richardson 則 → 36, 40, 42, 43 番
• 例 6.6 SL(2,R) では指数写像は全射でない リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 4 番