常微分方程式 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜6 章の内容を学んだ学部生〜修士課程の人。解の存在と一意性、線形系、級数解、Sturm–Liouville 問題、安定性の基本は既習とします。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 5 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• 笠原晧司『微分方程式の基礎』朝倉書店
• E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations
• V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations
• G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 初等解法と解の概念
• 10〜18: 解の存在と一意性
• 19〜27: 線形系・行列指数関数・Floquet
• 28〜34: 級数解と確定特異点
• 35〜42: Sturm–Liouville 問題と Green 関数
• 43〜50: 安定性・力学系・特性曲線法

形式: 単一選択 18・複数選択 8・○× 5・数値 8・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 6 / 23 / 19 / 2。

この冊で使う定義・定理（65）

• 定義 5.1 完全微分方程式 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 4, 7 番
• 定義 4.1 1 階線形方程式 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 3 番
• 定義 6.1 延長と最大解 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 1, 6 番
• 定義 2.1 1 階常微分方程式の解と初期値問題 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 1 番
• 例 3.3 有限時間で発散する解 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 9 番
• 例 3.2 ロジスティック方程式 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 9 番
• 例 3.4 一意性が壊れる例 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 5, 14 番
• 命題 5.5 積分因子の見つけ方 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 7 番
• 定理 5.4 完全性の判定条件 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 4, 5, 7 番
• 定理 4.2 1 階線形方程式の解の公式 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 3, 5, 9 番
• 定理 6.2 最大解の存在と一意性 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 9 番
• 定理 3.1 変数分離形の解 常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」 → 2, 5, 6 番
• 系 6.2 線形増大なら大域的に存在する 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 14 番
• 系 4.2 最大解の存在と一意性 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 14 番
• 定義 2.3 y について局所 Lipschitz 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 8, 13, 17 番
• 演習 10.3 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 13 番
• 補題 5.1 Arzelà–Ascoli の補題 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 15 番
• 補題 3.1 Gronwall の不等式 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 12, 18 番
• 補題 2.2 初期値問題と積分方程式 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 11, 15, 16, 18 番
• 補題 2.1 積分のノルム 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 18 番
• 命題 2.4 C¹ 級なら局所 Lipschitz 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 13, 17 番
• 定理 5.2 Peano の存在定理 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 10, 14, 15 番
• 定理 4.1 Picard–Lindelöf の定理 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 10, 11, 13, 16 番
• 定理 3.2 解の一意性 解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存 → 8, 10, 18 番
• 系 5.4 Floquet 乗数と安定性 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 23 番
• 系 2.4 可逆性の保存 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 19 番
• 定義 2.2 基本解行列 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 20 番
• 定義 4.1 行列指数関数 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 21, 22 番
• 演習 8.2 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 19 番
• 補題 5.1 モノドロミー行列 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 23, 24, 25, 26 番
• 命題 4.2 行列指数関数の性質 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 21, 22, 27 番
• 定理 4.3 定数係数線形系の解 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 27 番
• 定理 5.3 Floquet の定理 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 23, 25 番
• 定理 6.1 Hill 方程式の安定・不安定 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 23, 24, 26 番
• 定理 2.3 Liouville の公式 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 19, 20, 24, 26, 40 番
• 定理 2.1 斉次線形系の解空間 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 27 番
• 定理 3.1 定数変化法 線形微分方程式系：基本解行列・行列指数関数・Liouville の公式・Floquet の定理・Laplace 変換法 → 27 番
• 定義 2.1 解析的な係数 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 28 番
• 定義 4.1 Bessel 方程式 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 31, 34 番
• 定義 3.1 確定特異点と決定方程式 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 30, 32, 34 番
• 命題 4.2 半整数次の Bessel 関数 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 31 番
• 命題 5.3 Hermite 多項式 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 32, 33 番
• 命題 5.1 Legendre 多項式 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 32 番
• 定理 3.2 Frobenius の定理 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 30, 31, 32, 34 番
• 定理 2.3 通常点での冪級数解 級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで → 28, 29, 32, 33 番
• 定義 5.1 ω 極限集合 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 45, 46 番
• 定義 2.1 Lyapunov 安定・漸近安定 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 43 番
• 例 6.3 Burgers 方程式：解が壊れる時刻 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 48 番
• 例 4.3 実部が 0 の固有値：線形化では決まらない 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 44, 50 番
• 例 3.2 減衰のない振り子と減衰のある振り子 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 50 番
• 例 6.2 輸送方程式 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 47 番
• 補題 5.2 ω 極限集合の性質 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 45, 46 番
• 注意 7.2 解析性・標準形の仮定は外せない 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 49 番
• 定理 7.1 Cauchy–Kovalevskaya の定理 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 49 番
• 定理 6.1 特性曲線法の局所存在と一意性 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 47, 48 番
• 定理 4.2 線形化による安定性の判定 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 43, 44 番
• 定理 3.1 Lyapunov の安定性定理 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 44, 45, 50 番
• 定理 5.4 Poincaré–Bendixson の定理 安定性・力学系・特性曲線法：Lyapunov から Poincaré–Bendixson、Cauchy–Kovalevskaya まで → 46 番
• 系 3.2 零点の分離 Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） → 37, 40 番
• 定義 5.1 Green 関数 Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） → 38, 39, 41 番
• 命題 6.2 正弦関数系の完全性 Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） → 36, 42 番
• 命題 2.2 固有値の基本性質 Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） → 35, 36 番
• 定理 6.1 固有関数展開の完備性 Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） → 41, 42 番
• 定理 5.2 Green 関数による境界値問題の解 Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） → 38, 39, 41 番
• 定理 4.2 振動定理 Sturm–Liouville 問題と Green 関数：振動定理・固有関数展開の完備性と、変数分離法（弦の振動・熱伝導） → 35 番