偏微分方程式の離散化 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの差分法・有限要素法・スペクトル法・時間発展・固有値の離散化の各章を一通り読んだ修士課程の人。増幅率や誤差の次数を自分で計算できることを目標にします。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• R. J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM
• S. C. Brenner, L. R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed., Springer
• L. N. Trefethen, Spectral Methods in MATLAB, SIAM
• V. Thomée, Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, 2nd ed., Springer

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 差分法の整合性・安定性・収束
• 10〜17: 楕円型・放物型方程式の差分法
• 18〜25: 有限要素法 I（Galerkin 近似と 1 次元）
• 26〜31: 有限要素法 II（三角形要素）
• 32〜38: スペクトル法
• 39〜45: 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
• 46〜50: 固有値問題の離散化

形式: 単一選択 18・複数選択 9・○× 5・数値 8・並べ替え 3・誤り探し 3・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 2 / 14 / 32 / 2。

この冊で使う定義・定理（92）

• 例 8.2 スペクトルのすき間に現れる偽の固有値 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 50 番
• 演習 9.4 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 47 番
• 補題 2.1 形式についてのミニマックス原理 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 49 番
• 補題 2.3 Ritz 値のミニマックス表示 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 49, 50 番
• 命題 8.1 本質スペクトルの下端より下には偽の固有値が現れない 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 50 番
• 命題 6.1 Ritz 値による上界と Liu の下界の幅 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 48 番
• 定理 3.1 3 点差分の固有値 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 47 番
• 定理 4.3 1 次元の区分 1 次要素の固有値 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 46, 47, 48 番
• 定理 4.2 Ritz 値の誤差は固有関数のエネルギー誤差の 2 乗 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 48 番
• 定理 4.1 適合な Galerkin 近似の上界と単調性 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界 → 46, 49 番
• 定義 2.1 格子領域と離散 Laplace 作用素 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 10, 11 番
• 定義 4.1 θ 法 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 12, 16, 17 番
• 命題 5.1 Crank–Nicolson と陰的 Euler の高波数での増幅因子 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 13, 14 番
• 命題 3.1 離散 Laplace 作用素のスペクトル 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 10, 11 番
• 命題 5.2 エネルギー法による安定性と変数係数への拡張 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 17 番
• 命題 5.3 陽的な方法と陰的な方法の演算量 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 16 番
• 定理 2.5 5 点差分の収束 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 15 番
• 定理 2.4 最大値ノルムでの安定性 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 15 番
• 定理 4.5 θ 法の収束の次数 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 14 番
• 定理 4.3 θ 法の離散最大値原理 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 12, 14 番
• 定理 4.2 θ 法の ℓ² 安定性 楕円型・放物型方程式の差分法：離散最大値原理と θ 法 → 12, 13, 16 番
• 系 5.7 連立のスキームの必要条件 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 8 番
• 定義 5.2 定数係数のスキームと増幅因子 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 2 番
• 定義 3.3 局所打ち切り誤差・整合性・精度の次数 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 7 番
• 定義 2.2 前進・後退・中心差分 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 1 番
• 定義 8.1 数値的な散逸と分散 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 5 番
• 定義 6.2 依存領域と CFL 数 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 4 番
• 定義 8.3 単調性を保つスキーム 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 6 番
• 補題 5.6 増幅行列による下からの評価 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 8 番
• 補題 2.3 差分商の打ち切り誤差 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 1, 15 番
• 補題 4.1 誤差の漸化式 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 7 番
• 命題 8.2 修正方程式：数値粘性と分散 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 5 番
• 定理 7.1 4 つのスキームの安定性と精度 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 2, 3, 4, 9 番
• 定理 6.3 Courant–Friedrichs–Lewy の条件 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 4, 9 番
• 定理 8.4 Godunov の次数の壁 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 6 番
• 定理 4.2 整合性と安定性から収束が従う 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 7 番
• 定理 5.5 von Neumann の安定性条件 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析 → 3, 8, 9 番
• 定義 3.4 1 次元の分割と有限要素空間 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 19 番
• 定義 2.1 有界で強圧的な双線形形式と変分問題 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 18 番
• 例 5.5 不連続な係数：分割を不連続点に合わせる 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 22 番
• 例 6.5 求積の次数が足りない例 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 24 番
• 例 5.4 係数が定数でないと節点で厳密にならない 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 20 番
• 例 7.1 H² に属さない解と、特異点に寄せた分割 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 25 番
• 演習 8.1 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 19 番
• 補題 2.4 Galerkin 直交性 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 20, 21 番
• 補題 3.2 H¹₀(0,1) の基本性質 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 18 番
• 命題 6.1 等間隔の区分 1 次要素と 3 点差分 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 23, 24 番
• 命題 5.3 −u″ = f では節点で厳密 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 20, 25 番
• 命題 6.4 求積による誤差（第 1 Strang の補題） 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 24 番
• 命題 6.3 剛性行列と質量行列の条件数 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 23 番
• 定理 5.2 L² ノルムでの誤差（Aubin–Nitsche の双対論法） 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 21 番
• 定理 2.5 Céa の補題 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 18, 22 番
• 定理 4.1 1 次元の節点補間の誤差 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価 → 21, 22, 25 番
• 定義 2.2 重心座標と区分 1 次の有限要素空間 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 26 番
• 定義 7.1 半離散と全離散の有限要素法 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 31 番
• 定義 2.1 三角形分割・形状正則性・準一様性 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 28, 29 番
• 例 8.1 鈍角のある分割では剛性行列に正の非対角成分が現れる 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 27 番
• 例 4.3 つぶれた三角形では H¹ の補間誤差が悪化する 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 28 番
• 補題 5.2 正方形での H² 正則性 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 30 番
• 命題 6.1 余接の公式と離散最大値原理 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 26, 27 番
• 命題 6.3 逆不等式と条件数 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 29 番
• 注意 5.5 凹んだ角：L 字形の領域 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 30 番
• 注意 4.4 最大角の条件 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 28 番
• 定理 5.4 L² ノルムでの誤差（Aubin–Nitsche） 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 30, 31 番
• 定理 4.2 三角形の上の節点補間の誤差 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 28 番
• 定理 7.2 熱方程式の有限要素法の誤差評価 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題 → 31 番
• 定義 6.1 Fourier–Galerkin 法と選点法 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 35 番
• 定義 5.1 スペクトル微分行列 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 34 番
• 定義 6.5 3/2 則による折り返しの除去 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 36 番
• 定義 3.1 離散 Fourier 係数と三角補間 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 32, 33 番
• 補題 3.3 折り返しの公式 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 32, 35, 36 番
• 命題 7.5 Chebyshev 微分行列 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 37, 38 番
• 命題 8.1 不連続な関数の Fourier 切断 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 38 番
• 命題 5.2 スペクトル微分行列の成分と固有値 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 34, 37 番
• 命題 6.6 3/2 則は Galerkin の積を厳密に与える スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 36 番
• 定理 7.4 Chebyshev 補間の誤差 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 38 番
• 定理 6.3 選点法の解と Galerkin 解の差 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 35 番
• 定理 4.2 解析関数に対する指数収束 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 33 番
• 定理 3.4 三角補間の誤差 スペクトル法：Fourier・Chebyshev 選点法と指数収束 → 35 番
• 系 3.4 波動方程式の中心差分と CFL 条件 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 39, 40 番
• 定義 6.1 Crank–Nicolson 法（Cayley 変換） 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 43 番
• 定義 3.1 leapfrog 法 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 44 番
• 定義 7.1 Lie–Trotter 分割と Strang 分割 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 45 番
• 例 4.3 CFL 数と離散エネルギー 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 41 番
• 補題 6.2 Cayley 変換のスカラーの評価 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 43 番
• 補題 3.2 3 項漸化式の解 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 40, 44 番
• 命題 6.4 陽的 Euler 法と陰的 Euler 法 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 45 番
• 命題 5.1 leapfrog・中心差分の数値分散関係 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 42 番
• 定理 6.3 Crank–Nicolson 法のユニタリ性と誤差 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 43 番
• 定理 4.1 leapfrog 法の離散エネルギー 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 41 番
• 定理 3.3 leapfrog 法の安定条件 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 39, 40, 44 番
• 定理 7.3 ユニタリな分割の誤差 波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展：leapfrog・Crank–Nicolson・分割演算子法 → 45 番