多様体論 100 本ノック

学部100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜8 章（多様体の定義、接空間、微分形式、ストークスの定理、リー群、正則値定理、流れ、de Rham コホモロジー）の内容を学んだ学部生。問題を解く計算力は仮定します。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds (2nd ed.)
• L. W. Tu, An Introduction to Manifolds (2nd ed.)
• 松本幸夫『多様体の基礎』
• 松島与三『多様体入門』

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜12: 微分可能多様体の定義
• 13〜24: 接ベクトル空間と接バンドル
• 25〜37: ベクトル場と微分形式
• 38〜50: ストークスの定理
• 51〜62: リー群とリー環
• 63〜75: 部分多様体と正則値定理
• 76〜88: 流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
• 89〜100: de Rham コホモロジー

形式: 単一選択 35・複数選択 17・○× 10・数値 16・並べ替え 6・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 17 / 52 / 30 / 1。

この冊で使う定義・定理（133）

• 系 3.3 ホモトピー同値は同型を誘導する de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 96 番
• 系 3.5 円柱と穴あき空間 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 92, 93, 96, 99, 100 番
• 系 5.3 穴あき平面の閉 1 形式 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 90, 98 番
• 系 5.2 最高次のコホモロジーは積分で測る de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 97 番
• 定義 2.1 de Rham コホモロジー de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 89 番
• 例 2.3 角度形式の類 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 89, 100 番
• 例 5.5 トーラスのコホモロジー de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 93 番
• 命題 2.2 基本的な性質 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 90, 91 番
• 命題 3.1 ホモトピー公式 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 97 番
• 命題 2.4 閉 1 形式が完全である条件 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 97, 98 番
• 定理 3.2 ホモトピー不変性 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 96, 98 番
• 定理 4.3 Mayer–Vietoris 完全系列 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 94, 95, 99 番
• 定理 3.4 Poincaré の補題 de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 33, 90, 94, 95, 99, 100 番
• 定理 5.1 球面のコホモロジー de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 90, 91, 92, 93, 94, 99, 100 番
• 系 6.6 閉だが完全でない形式の存在 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 33, 37 番
• 定義 5.1 交代 $k$ 重線形形式 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 26 番
• 定義 6.4 閉形式と完全形式 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 29, 37, 88 番
• 定義 4.1 余接空間・余接バンドル・1 形式 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 25 番
• 例 4.4 角度形式：局所的には $d\theta$、大域的には違う ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 29, 33, 45, 50 番
• 例 3.3 平面の回転場と極座標成分 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 23 番
• 例 6.5 $\mathbb{R}^3$ のベクトル解析は外微分の 3 つの姿 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 28, 36, 46, 49, 100 番
• 命題 4.2 座標微分は双対基底 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 25, 30, 35 番
• 注意 3.4 切断は必ずしも零点を避けられない ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 20, 23, 56 番
• 定理 5.4 $\Lambda^k V^*$ の基底と次元 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 26, 27, 34 番
• 定理 6.2 外微分の存在と一意性 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 28, 29, 32, 35, 36, 37 番
• 定理 5.3 外積代数の基本性質 ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 → 27, 30, 31, 32, 34 番
• 系 6.4 Frobenius の定理（微分形式版） ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 83, 85 番
• 定義 2.1 Lie 括弧 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 79 番
• 定義 6.1 分布・involutive・平坦チャート ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 85, 87 番
• 定義 2.4 積分曲線 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 76, 77 番
• 定義 3.1 Lie 微分 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 81, 84 番
• 例 6.5 積分できない分布と積分できる分布 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 83, 86 番
• 例 2.6 有限時間で爆発する流れ ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 78 番
• 例 4.4 回転のベクトル場 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 82, 88 番
• 補題 3.3 引き戻しは ∧ と d を保つ ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 31, 43 番
• 命題 2.2 Lie 括弧の性質 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 79, 87 番
• 命題 5.1 可換性の同値条件 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 80, 86 番
• 命題 2.7 コンパクトな台を持つベクトル場は完備 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 78 番
• 命題 3.4 微分形式の Lie 微分の性質 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 81 番
• 注意 6.3 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 85 番
• 定理 4.2 Cartan の公式 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 81, 82, 84, 88 番
• 定理 2.5 流れの基本定理 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 76, 77, 78 番
• 定理 6.2 Frobenius の定理 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 83, 85, 86, 87 番
• 定理 3.2 L_X Y は Lie 括弧 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 80, 81 番
• 定理 2.3 常微分方程式の基本定理 ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件 → 80 番
• 系 6.5 連結リー群は指数写像の像で生成される リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 59, 60 番
• 定義 7.1 随伴表現 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 55, 61 番
• 定義 6.1 指数写像 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 54, 62 番
• 定義 5.1 左不変ベクトル場 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 54 番
• 定義 3.1 リー群 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 51, 52 番
• 例 6.6 SL(2,R) では指数写像は全射でない リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 59, 60 番
• 例 3.3 一般線形群 GL(n,R) リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 52 番
• 例 4.4 直交群 O(n) とユニタリ群 U(n) リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 53 番
• 例 6.3 回転群の指数写像とロドリゲスの公式 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 58, 60, 62 番
• 例 4.3 特殊線形群 SL(n,R) リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 53 番
• 例 5.7 so(3) は 3 次元ベクトルの外積 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 57 番
• 補題 8.5 行列指数関数の基本性質 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 61 番
• 命題 5.2 左不変ベクトル場と接空間の対応 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 54, 56 番
• 命題 5.6 行列群のブラケットは交換子 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 55, 57, 61 番
• 命題 3.4 左移動による等質性 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 52 番
• 注意 6.7 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 59 番
• 注意 3.2 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 51 番
• 注意 7.2 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 62 番
• 注意 5.3 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 52, 54, 56 番
• 定理 6.4 指数写像は原点の近くで微分同相 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 60 番
• 定理 6.2 行列群の指数写像は行列指数関数 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 55, 58 番
• 定義 3.3 $C^k$ アトラスと $C^k$ 構造 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 2 番
• 定義 3.1 チャート（座標近傍） 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 2, 4, 9 番
• 定義 6.1 多様体上の $C^k$ 級関数 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 6 番
• 定義 6.3 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 12 番
• 定義 3.2 $C^k$ 両立 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 1, 7, 9, 10, 11 番
• 定義 4.1 $C^k$ 級多様体 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 5, 8 番
• 例 4.4 ユークリッド空間とその開集合 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 3, 5 番
• 例 5.4 実射影空間の斉次座標によるアトラス 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 3, 7, 11 番
• 例 5.3 球面の立体射影によるアトラス 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 4, 10, 12 番
• 例 4.2 二重原点直線：Hausdorff でない局所ユークリッド空間 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 2, 5, 8 番
• 補題 6.2 チャート表示の取り替え 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 1, 6 番
• 命題 2.1 $C^k$ 級写像の局所性と合成 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 6 番
• 命題 6.5 $C^k$ 級写像の基本性質 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 12 番
• 命題 5.1 積多様体 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 3 番
• 注意 6.7 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 2, 9 番
• 注意 4.3 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む → 5, 8 番
• 系 6.2 閉多様体上での消滅 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 41, 97 番
• 定義 5.3 1 の分割による積分 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 47 番
• 定義 5.1 チャート内での積分 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 47 番
• 定義 4.1 境界付き多様体 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 39 番
• 定義 3.1 向き付け可能性 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 38, 39, 48 番
• 定義 4.5 外向きベクトルと誘導される向き ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 40, 41, 49, 50 番
• 例 7.2 単位球での発散定理 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 42, 46 番
• 例 3.5 メビウスの帯は向き付け不可能 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 38 番
• 例 3.4 球面は向き付け可能 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 38 番
• 演習 9.2 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 44 番
• 演習 9.1 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 46 番
• 補題 5.2 チャートの取り方によらない ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 47 番
• 命題 4.4 境界は 1 次元低い多様体 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 39 番
• 命題 3.2 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 39, 48 番
• 注意 5.4 1 の分割の取り方によらないこと ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 47 番
• 定理 8.1 滑らかなレトラクションの非存在 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 43 番
• 定理 6.1 ストークスの定理 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 49, 50 番
• 定義 7.3 臨界点・臨界値・正則値 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 63, 65, 67, 69, 72 番
• 定義 3.1 はめ込み・沈め込み・埋め込み 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 66, 72 番
• 定義 4.1 埋め込み部分多様体 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 68, 71, 75 番
• 例 4.6 正則値でないとき：十字形 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 65, 71, 75 番
• 例 5.1 単射なはめ込みが埋め込みでない例 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 66 番
• 例 4.5 球面と双曲面 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 64, 75 番
• 補題 6.2 コンパクト集合による枚挙 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 70 番
• 命題 4.2 部分多様体は多様体である 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 71 番
• 注意 7.5 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 69, 74 番
• 定理 5.3 埋め込みの像は部分多様体である 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 66 番
• 定理 6.3 1 の分割の存在 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 8, 70 番
• 定理 4.3 正則値定理 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 63, 64, 65, 67, 68 番
• 定理 7.4 Sard の定理 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 69, 74 番
• 定理 3.2 沈め込みの局所標準形 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 68 番
• 定理 8.1 Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版） 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 73 番
• 定理 8.2 埋め込み次元の削減 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで → 73 番
• 系 7.5 微分同相の微分は同型 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 16 番
• 定義 3.2 接ベクトル（曲線による定義） 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 14, 24 番
• 定義 5.1 点における導分 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 13, 14, 24 番
• 定義 7.1 滑らかな写像の微分 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 16, 21, 22 番
• 例 7.8 直交群の単位元における接空間 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 17 番
• 例 6.3 極座標での基底の書き換え 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 15 番
• 例 7.7 球面の接空間 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 23 番
• 例 8.4 $TS^1$ は自明である 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 20 番
• 補題 5.2 導分は定数を消す 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 14, 19 番
• 補題 5.3 Hadamard の補題 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 18, 19 番
• 命題 7.2 微分は線形写像である 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 16 番
• 命題 7.6 微分の行列表示はヤコビ行列 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 21 番
• 注意 5.5 なぜ $C^{\infty}$ でなければならないか 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 14, 18 番
• 注意 8.5 自明でない接バンドル 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 20 番
• 定理 5.4 導分の空間の基底 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 13, 15, 18, 19 番
• 定理 7.4 連鎖律 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 16, 22 番
• 定理 6.1 三つの接空間の同値性 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 24 番
• 定理 8.2 接バンドルは 2n 次元多様体である 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 → 17, 20 番