de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴

0. この記事の要点

微積分では、回転が $0$ のベクトル場は何かの関数の勾配になる、と習います。ところが平面から原点を取り除くと、この主張は成り立たなくなります。空間に穴があるかどうかを、微分形式という解析の道具で数える方法が、この記事の主題です。読み終えると、球面や穴の開いた空間について、穴の個数に当たる数を実際に計算できるようになります。

• $d\circ d=0$ なので完全形式は閉形式です。逆は一般には成り立たず、その「ずれ」を測る商空間 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)=\{\text{閉}\}/\{\text{完全}\}$ が de Rham コホモロジーです。穴のある空間で自明でない値を取ります。
• 滑らかな写像 $F\colon M\to N$ は引き戻しにより $F^*\colon H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ を誘導します。滑らかにホモトピックな写像は同じ写像を誘導します（定理 3.2）。証明は Cartan の公式（定理 4.2）［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ だけでできます。
• したがって星形領域では $H^k=0$ $(k\ge1)$、すなわち閉形式はすべて完全です（Poincaré の補題、定理 3.4）。
• 多様体を二つの開集合で覆うと、Mayer–Vietoris 完全系列が $H^k(U\cup V)$ を $H^k(U)$、$H^k(V)$、$H^k(U\cap V)$ に結びつけます（定理 4.3）。1 の分割がその心臓部です。
• この道具で球面のコホモロジーが $H^0=H^n=\mathbb{R}$、他は $0$ と求まります（定理 5.1）。$H^n(S^n)$ の同型は $\int_{S^n}$ で与えられます。

この記事で使う事前知識

• 商空間: ベクトル空間をある部分空間で割り、その部分空間の差を同じものとみなして作る空間。→ 商空間
• 完全列: 各所で「入ってくる写像の像」と「出ていく写像の核」が一致する列。
• 連結成分: 空間をつながった塊に分けたときの、それぞれの塊。→ 連結成分
• Cartan の公式: ベクトル場 $X$ について $L_X=d\,i_X+i_Xd$ が成り立つ、という公式。→ ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
• Stokes の定理: 境界のないコンパクトな向き付けられた $n$ 次元多様体では、$n$ 次の完全形式の積分は $0$ になる、という性質を含む定理。→ ストークスの定理

1. 動機

微積分で習うように、$\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $\boldsymbol F$ が $\operatorname{rot}\boldsymbol F=0$ ならば、ある関数 $f$ で $\boldsymbol F=\operatorname{grad}f$ と書けます。これを外微分の言葉で書くと、「1 形式 $\omega$ が $d\omega=0$（閉）ならば、ある関数 $f$ で $\omega=df$（完全）」です。ところが ベクトル場と微分形式 で見たとおり、$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上の角度形式

$$\eta=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$$

は閉ですが完全ではありません（系 6.6［ベクトル場と微分形式］）。原点の周りを一周する積分が $2\pi\ne0$ だからです。

閉ならば完全という主張が成り立つかどうかは、空間の形に依存します。穴があると破れます。この破れ具合を、線形空間として測るのが de Rham コホモロジーです。その次元（Betti 数。コホモロジーの次元として定まる整数）は穴の個数と次元を数える位相不変量になり、微分形式という解析的な対象から位相的な情報が取り出せます。

この記事の道筋は次のとおりです。

1. 定義と、引き戻しによる関手性（第 2 節）。
2. ホモトピー不変性と Poincaré の補題（第 3 節）。
3. Mayer–Vietoris 完全系列（第 4 節）。
4. 球面の計算と応用（第 5 節）。

2. 定義

$M$ を滑らかな多様体とし、$\Omega^k(M)$ を $M$ 上の滑らかな $k$ 形式全体（$k<0$ または $k>\dim M$ では $0$）とします。外微分 $d\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$ は $d\circ d=0$ を満たすので、

$$\cdots\to\Omega^{k-1}(M)\xrightarrow{d}\Omega^k(M)\xrightarrow{d}\Omega^{k+1}(M)\to\cdots$$

は余鎖複体（$d$ を二回続けると $0$ になる列のこと）です。

定義 2.1（de Rham コホモロジー）↗

$Z^k(M)=\ker(d\colon\Omega^k\to\Omega^{k+1})$（閉 $k$ 形式）、$B^k(M)=\operatorname{im}(d\colon\Omega^{k-1}\to\Omega^k)$（完全 $k$ 形式）とする。$B^k\subset Z^k$ であり（定義 6.4［ベクトル場と微分形式］）、商ベクトル空間

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M)=Z^k(M)/B^k(M)$$

を $k$ 次の de Rham コホモロジーという。閉形式 $\omega$ の類を $[\omega]$ と書く。

命題 2.2（基本的な性質）✓

$M$ を $n$ 次元の滑らかな多様体とする。

1. $H^0_{\mathrm{dR}}(M)$ は $M$ 上の局所定数関数全体であり、$M$ の連結成分の個数が $c$ なら $H^0_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathbb{R}^c$。とくに $M$ が連結なら $H^0=\mathbb{R}$。
2. $k>n$ では $H^k_{\mathrm{dR}}(M)=0$。
3. $F\colon M\to N$ を滑らかな写像とすると、$F^*\colon\Omega^k(N)\to\Omega^k(M)$ は $d$ と可換なので、線形写像 $F^*\colon H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$、$[\omega]\mapsto[F^*\omega]$ を誘導する。$(G\circ F)^*=F^*\circ G^*$、$\mathrm{id}^*=\mathrm{id}$。とくに微分同相は同型を誘導する。
4. $[\alpha]\in H^k$、$[\beta]\in H^l$ に対し $[\alpha][\beta]:=[\alpha\wedge\beta]\in H^{k+l}$ は代表元の取り方によらず定まり、$F^*$ はこの積を保つ。

証明（命題 2.2）

(1)　$H^0=Z^0$（$B^0=0$）で、$df=0$ なのは、各チャートで $f$ の偏導関数がすべて $0$ のとき、すなわち $f$ が局所定数のときです。局所定数関数は連結成分上で定数です。

(2)　$\Omega^k=0$ だからです。

(3)　引き戻しの性質（補題 3.3）［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ にある $F^*d=dF^*$ により、閉形式は閉形式に、完全形式は完全形式に写されます（$F^*(d\gamma)=d(F^*\gamma)$）。合成と恒等写像の性質は引き戻しの性質です。

(4)　$d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta=0$ で $\alpha\wedge\beta$ は閉です。$\alpha$ を $\alpha+d\gamma$ に取り替えると、$d\gamma\wedge\beta=d(\gamma\wedge\beta)$（$\beta$ が閉なので）が完全形式なので類は変わりません。$\beta$ を取り替えても同様です（$\alpha\wedge d\gamma=(-1)^kd(\alpha\wedge\gamma)$）。$F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta$ より後半も従います。

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こうして $H^\bullet_{\mathrm{dR}}(M)=\bigoplus_kH^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は次数付き可換環になります。この記事では環構造は使いません。

例 2.3（角度形式の類）

$M=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$、$\eta$ を上の角度形式とします。$\eta$ は閉形式ですが、単位円 $C$ に沿った積分が $\int_C\eta=2\pi\ne0$ なので完全形式ではありません（完全なら $\eta=df$ で、閉曲線上で $\int_C df=0$）。したがって $[\eta]\ne0\in H^1_{\mathrm{dR}}(M)$、$H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})\ne0$ です。後で、この空間の $H^1$ がちょうど $\mathbb{R}\cdot[\eta]$ であることを示します（系 5.3）。

1 形式については、完全性を周回積分で判定できます。これは $H^1$ を実際に計算するときの出発点になります。

命題 2.4（閉 1 形式が完全である条件）✓

$M$ を連結な多様体、$\omega$ を $M$ 上の閉 1 形式とする。$\omega$ が完全であることと、$M$ 内の区分的に滑らかな閉曲線 $\gamma$ すべてについて $\int_\gamma\omega=0$ であることは同値である。

証明（命題 2.4）

（⇒）$\omega=df$ なら $\int_\gamma df=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=0$（合成関数の微分と微分積分学の基本定理）。（⇐）$p_0\in M$ を固定します。$p_0$ と区分的に滑らかな曲線で結べる点の全体は、チャートの球の中では線分で結べるので開かつ閉で、$M$ が連結なので $M$ 全体です。$f(p)=\int_{\gamma}\omega$（$\gamma$ は $p_0$ から $p$ への曲線）と定めます。二つの曲線の差は閉曲線なので積分が $0$ であり、$f$ は曲線の取り方によりません。チャート上の球 $B$ と $q\in B$ を取ります。$p_0$ から $q$ への曲線に線分 $s\mapsto q+se_j$ ($0\le s\le t$) をつなげると、$f(q+te_j)-f(q)=\int_0^t\omega_j(q+se_j)\,ds$（$\omega=\sum\omega_idx^i$）です。したがって $\partial_jf=\omega_j$ で、$f$ は $C^1$ 級、さらに $\omega_j$ が滑らかなので $f$ は滑らかで $df=\omega$ です。

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たとえば 例 2.3 の角度形式 $\eta$ は、単位円に沿った積分が $2\pi$ なので完全でないことが、この判定からすぐ分かります。

3. ホモトピー不変性と Poincaré の補題

ここでは $M\times\mathbb{R}$ の座標を $(x,t)$ とし、$T=\partial/\partial t$、$i_t\colon M\to M\times\mathbb{R}$、$i_t(x)=(x,t)$ とします。$T$ の流れは平行移動 $\psi_s(x,t)=(x,t+s)$ です。

次のホモトピー公式のねらいは、時刻 $0$ と時刻 $1$ での引き戻しの差 $i_1^*\omega-i_0^*\omega$ を、$d$ で書ける部分（完全形式）と $d\omega$ の部分に分けることです。$\omega$ が閉なら $d\omega=0$ なので、差は完全形式になります。証明の方針は、時刻 $t$ での引き戻しの変化率が Cartan の公式で $d$ のついた項に分かれることを使い、それを $t$ について $0$ から $1$ まで積分するというものです。$K$ は、その積分でできる「$1$ 次下げる」操作です。

命題 3.1（ホモトピー公式）✓

$k$ 形式 $\omega\in\Omega^k(M\times\mathbb{R})$ に対し、

$$(K\omega)_x(v_1,\dots,v_{k-1})=\int_0^1(i_T\omega)_{(x,t)}\bigl(d(i_t)\,v_1,\dots,d(i_t)\,v_{k-1}\bigr)\,dt$$

で定まる $K\omega\in\Omega^{k-1}(M)$ は滑らかで（$K\colon\Omega^k(M\times\mathbb{R})\to\Omega^{k-1}(M)$）、

$$i_1^*\omega-i_0^*\omega=d\,K\omega+K\,d\omega .$$

つまり $K\omega=\int_0^1i_t^*(i_T\omega)\,dt$ である。

証明（命題 3.1）

滑らかさは、チャートでの係数が $(x,t)$ について滑らかで、積分区間が有界なので、積分と $x$ に関する偏微分が交換できることから従います。同じ理由で $d$ は $\int_0^1dt$ と可換です：$d\,K\omega=\int_0^1d\,i_t^*(i_T\omega)\,dt=\int_0^1i_t^*(d\,i_T\omega)\,dt$。

まず $\dfrac{d}{dt}i_t^*\omega=i_t^*(L_T\omega)$ を示します。$i_{t+s}=\psi_s\circ i_t$ なので、各点で $(i_{t+s}^*\omega)_x=(\psi_s^*\omega)_{(x,t)}\circ d(i_t)_x$ であり、右の線形写像 $d(i_t)_x$ は $s$ によりません。これを $s=0$ で微分すると、定義 3.1［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ により $(L_T\omega)_{(x,t)}\circ d(i_t)_x$ です。

各点・各接ベクトルについて $t\mapsto(i_t^*\omega)_x(v_1,\dots,v_k)$ は滑らかな関数なので、微積分学の基本定理により

$$i_1^*\omega-i_0^*\omega=\int_0^1\frac{d}{dt}i_t^*\omega\,dt=\int_0^1i_t^*(L_T\omega)\,dt .$$

定理 4.2［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ から $L_T\omega=d\,i_T\omega+i_Td\omega$ なので、右辺は $\int_0^1i_t^*(d\,i_T\omega)\,dt+\int_0^1i_t^*(i_Td\omega)\,dt=d\,K\omega+K\,d\omega$ です。

∎

写像のホモトピーを次のように扱います。滑らかな写像 $F,G\colon M\to N$ が滑らかにホモトピックであるとは、滑らかな $H\colon M\times\mathbb{R}\to N$ で $H\circ i_0=F$、$H\circ i_1=G$ となるものがあることとします。（$[0,1]$ 上のホモトピーは、滑らかな単調関数 $g\colon\mathbb{R}\to[0,1]$（$t\le0$ で $0$、$t\ge1$ で $1$）で時間を取り替えて $\mathbb{R}$ 上に延長できます。）直感的には、$F$ を途中で止めずに連続的に動かしていくと $G$ になる、ということです。

定理 3.2（ホモトピー不変性）✓

$F,G\colon M\to N$ が滑らかにホモトピックならば、$F^*=G^*\colon H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$。

証明（定理 3.2）

$H$ を滑らかなホモトピーとします。$\omega\in\Omega^k(N)$ を閉形式とすると $H^*\omega$ も閉で、命題 3.1 により

$$G^*\omega-F^*\omega=i_1^*H^*\omega-i_0^*H^*\omega=d\,K(H^*\omega)+K\,d(H^*\omega)=d\,K(H^*\omega).$$

右辺は完全形式なので、$[G^*\omega]=[F^*\omega]$ です。

∎

写像 $F\colon M\to N$ が滑らかなホモトピー同値であるとは、滑らかな $G\colon N\to M$ で $G\circ F$、$F\circ G$ がそれぞれ $\mathrm{id}_M$、$\mathrm{id}_N$ に滑らかにホモトピックなものがあることとします。$M$ と $N$ が、連続的な変形で互いに写り合う関係にある、ということです。

系 3.3（ホモトピー同値は同型を誘導する）✓

$F\colon M\to N$ が滑らかなホモトピー同値ならば、$F^*\colon H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は同型である。

証明（系 3.3）

定理 3.2 により $(G\circ F)^*=\mathrm{id}$、$(F\circ G)^*=\mathrm{id}$、すなわち $F^*G^*=\mathrm{id}$ かつ $G^*F^*=\mathrm{id}$ です。

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連続なホモトピーで結ばれた滑らかな写像は、滑らかなホモトピーでも結べること（Whitney の近似定理）が知られています。この記事では使いませんが、これにより de Rham コホモロジーは連続写像の意味でのホモトピー不変量にもなります。

次の Poincaré の補題の「星形」とは、ある点 $x_0$ から見て、領域のどの点へも線分で行ける形のことです（凸集合は星形です）。証明の方針は、領域を $x_0$ に向かって縮める写像が恒等写像にホモトピックなので、コホモロジーが一点のものと同じになる、というものです。

定理 3.4（Poincaré の補題）✓

$U\subset\mathbb{R}^n$ を星形の開集合（ある $x_0\in U$ が存在し、すべての $x\in U$ について線分 $[x_0,x]\subset U$）とする。このとき $H^0_{\mathrm{dR}}(U)=\mathbb{R}$、$k\ge1$ で $H^k_{\mathrm{dR}}(U)=0$。すなわち $U$ 上の閉 $k$ 形式（$k\ge1$）は完全である。

証明（定理 3.4）

$H^0$ は 命題 2.2 (1) です（$U$ は連結）。滑らかな関数 $g\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を $g(t)=f(t)/(f(t)+f(1-t))$（$f$ は 補題 6.1［部分多様体と正則値定理］ (1) の関数）で定めると、$t\le0$ で $0$、$t\ge1$ で $1$ です。

$$H\colon U\times\mathbb{R}\to U,\qquad H(x,t)=x_0+g(t)(x-x_0)$$

は、星形性から値が $U$ に入る滑らかな写像で、$H\circ i_0$ は定値写像 $c\colon U\to\{x_0\}\hookrightarrow U$、$H\circ i_1=\mathrm{id}_U$ です。定理 3.2 により $\mathrm{id}=c^*$ が $H^k(U)$ 上で成り立ちます。ところが $c$ は点 $\{x_0\}$ を経由し、$k\ge1$ では点の上の $k$ 形式は $0$ なので $H^k(\{x_0\})=0$、よって $c^*=0$ です。ゆえに $H^k(U)$ 上で恒等写像が $0$ で、$H^k(U)=0$ です。

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別の見方をすると、$\mathbb{R}^n$ 全体に対する 例 6.5［ベクトル場と微分形式］ の「$\operatorname{rot}\boldsymbol F=0$ ならばポテンシャルが存在する」は、この補題の $k=1$ の場合です。

もう一つ重要な同型を示しておきます。

系 3.5（円柱と穴あき空間）✓

1. $\pi\colon M\times\mathbb{R}\to M$ を射影とすると $\pi^*\colon H^k(M)\to H^k(M\times\mathbb{R})$ は同型である。
2. $n\ge1$ に対し、$r\colon\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to S^{n-1}$、$r(x)=x/|x|$ は滑らかなホモトピー同値で、$H^k(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})\cong H^k(S^{n-1})$。

証明（系 3.5）

(1)　$s=i_0\colon M\to M\times\mathbb{R}$ とすると $\pi\circ s=\mathrm{id}_M$ です。$s\circ\pi(x,t)=(x,0)$ は $H((x,t),u)=(x,g(u)t)$ により $\mathrm{id}$ にホモトピックです（$u=0$ で $s\circ\pi$、$u=1$ で恒等）。よって $\pi$ はホモトピー同値です。

(2)　包含 $j\colon S^{n-1}\to\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ とすると $r\circ j=\mathrm{id}$、$j\circ r(x)=x/|x|$ は $H(x,u)=\bigl((1-g(u))/|x|+g(u)\bigr)x$ により $\mathrm{id}$ にホモトピックです（スカラーが常に正なので $0$ を通りません）。

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4. Mayer–Vietoris 完全系列

空間を二つの簡単な部分に分けて計算する道具を作ります。まず純粋に代数的な補題を証明します。

このあとの補題は、完全列の形をした余鎖複体の列から、コホモロジーの長い完全系列を作るものです。核心は連結準同型 $\partial$ の作り方で、手順は次の三つです。閉形式 $c$ を一つ右の複体から左へ持ち上げて $b$ とし、その $d$ を取ると、$d b$ は一つ左の複体の元として書けます。この元が閉形式になり、その類が $\partial[c]$ です。「持ち上げて、$d$ を取って、落とす」と覚えると、証明の追いやすさが変わります。

余鎖複体 $A^\bullet,B^\bullet,C^\bullet$（実ベクトル空間と線形な $d$ の列）と、余鎖写像（$d$ と可換な線形写像）$i\colon A^\bullet\to B^\bullet$、$j\colon B^\bullet\to C^\bullet$ が、各次数 $k$ で短完全列 $0\to A^k\xrightarrow{i}B^k\xrightarrow{j}C^k\to0$ をなすとします。

補題 4.1（長完全系列）✓

上の状況で、線形写像 $\partial\colon H^k(C^\bullet)\to H^{k+1}(A^\bullet)$（連結準同型）が定まり、

$$\cdots\to H^k(A)\xrightarrow{i_*}H^k(B)\xrightarrow{j_*}H^k(C)\xrightarrow{\ \partial\ }H^{k+1}(A)\xrightarrow{i_*}H^{k+1}(B)\to\cdots$$

は完全である。

証明（補題 4.1）

$\partial$ の定義。　$c\in C^k$ を閉（$dc=0$）とします。$j$ は全射なので $c=j(b)$ となる $b\in B^k$ があります。$j(db)=d\,j(b)=dc=0$ なので $db=i(a)$ となる $a\in A^{k+1}$ が（$i$ の単射性から一意に）あります。$i(da)=d\,i(a)=ddb=0$ で $i$ は単射なので $da=0$、$a$ は閉です。$\partial[c]:=[a]$ と定めます。

well-defined。　$b$ を別の持ち上げ $b'$ に取ると、$j(b'-b)=0$ から $b'-b=i(x)$（$x\in A^k$）で、$db'=db+i(dx)$ より $a'=a+dx$、類は同じです。$c$ を $c+dc'$ に取り替えるとき、$c'=j(b'')$ とすれば持ち上げは $b+db''$ で、$d(b+db'')=db$ なので $a$ は変わりません。線形性は明らかです。

$H^k(A)\to H^k(B)\to H^k(C)$ での完全性。　$j\,i=0$ から $j_*i_*=0$。逆に $b\in B^k$ が閉で $[j(b)]=0$ とします。$j(b)=dc'$、$c'=j(b')$ と書くと $j(b-db')=0$ なので $b-db'=i(a)$ ($a\in A^k$) です。$i(da)=d(b-db')=0$ から $da=0$ で、$[b]=[i(a)]=i_*[a]$ です。

$H^k(B)\to H^k(C)\to H^{k+1}(A)$ での完全性。　閉な $b$ に対し $c=j(b)$ の持ち上げとして $b$ が取れ、$db=0=i(0)$ なので $\partial j_*[b]=0$。逆に $\partial[c]=0$ とし、持ち上げ $b$ と $db=i(a)$ に対して $a=dx$ ($x\in A^k$) とします。$b-i(x)$ は閉で（$d(b-ix)=i(a)-i(dx)=0$）、$j(b-ix)=c$ なので $[c]=j_*[b-ix]$ です。

$H^k(C)\to H^{k+1}(A)\to H^{k+1}(B)$ での完全性。　$\partial[c]=[a]$ で $i(a)=db$ は完全なので $i_*\partial=0$。逆に閉な $a\in A^{k+1}$ で $i(a)=db'$ ($b'\in B^k$) とします。$c=j(b')$ は閉で（$dc=j(db')=j\,i(a)=0$）、$b'$ が持ち上げで $db'=i(a)$ なので $\partial[c]=[a]$ です。

∎

これを微分形式に適用します。$M=U\cup V$（$U,V$ は開集合）とし、

$$0\to\Omega^k(M)\xrightarrow{\ r\ }\Omega^k(U)\oplus\Omega^k(V)\xrightarrow{\ \delta\ }\Omega^k(U\cap V)\to0,$$

$r(\omega)=(\omega|_U,\omega|_V)$、$\delta(\alpha,\beta)=\beta|_{U\cap V}-\alpha|_{U\cap V}$ とします。$r,\delta$ は制限なので $d$ と可換です。

補題 4.2（微分形式の短完全列）✓

上の列は各 $k$ で完全である。

証明（補題 4.2）

$r$ の単射性は、$\omega$ が $U$ と $V$ の上で $0$ なら $M$ 上で $0$ ということです。$\delta\circ r=0$ は明らかで、$\ker\delta\subset\operatorname{im}r$ は、$\alpha,\beta$ が $U\cap V$ で一致するなら貼り合わせて $M$ 上の滑らかな形式が得られるということです。

$\delta$ の全射性。定理 6.3［部分多様体と正則値定理］ を被覆 $\{U,V\}$ に適用し、各 $\rho_j$ を $\operatorname{supp}\rho_j\subset U$ か $\subset V$ かで二つのグループに分けて、$\rho_U,\rho_V$ を各グループの和とします（局所有限和）。$\rho_U+\rho_V=1$、$\operatorname{supp}\rho_U\subset U$、$\operatorname{supp}\rho_V\subset V$（局所有限な閉集合族の和は閉）です。$\eta\in\Omega^k(U\cap V)$ とします。$\rho_V\eta$ は $U\cap V$ 上の形式ですが、$U$ の開集合 $U\setminus\operatorname{supp}\rho_V$ の上で $0$ と置けば（$U\cap V$ との重なりで $0$ に一致するので）$U$ 上の滑らかな形式 $\tilde\alpha$ に延長できます。同様に $\rho_U\eta$ は $V$ 上の滑らかな形式 $\tilde\beta$ に延長されます。$\delta(-\tilde\alpha,\tilde\beta)=\tilde\beta+\tilde\alpha=(\rho_U+\rho_V)\eta=\eta$ です。

∎

定理 4.3（Mayer–Vietoris 完全系列）✓

$M=U\cup V$（$U,V$ は開集合）のとき、次の完全系列が存在する。

$$\cdots\to H^k(M)\xrightarrow{r^*}H^k(U)\oplus H^k(V)\xrightarrow{\delta^*}H^k(U\cap V)\xrightarrow{\ \partial\ }H^{k+1}(M)\to\cdots$$

ここで $r^*[\omega]=([\omega|_U],[\omega|_V])$、$\delta^*([\alpha],[\beta])=[\beta|_{U\cap V}]-[\alpha|_{U\cap V}]$。

証明（定理 4.3）

補題 4.2 の短完全列に 補題 4.1 を適用します。

∎

連結準同型 $\partial$ の中身を見ておきます。閉形式 $\eta$ on $U\cap V$ に対し、$\eta=\delta(-\rho_V\eta,\rho_U\eta)$ と持ち上げ、$d$ を取ると $(-d(\rho_V\eta),\ d(\rho_U\eta))=(-d\rho_V\wedge\eta,\ d\rho_U\wedge\eta)$（$d\eta=0$ による）で、$d\rho_U=-d\rho_V$ なので二つは $U\cap V$ 上で一致し、$M$ 上の閉形式 $d\rho_U\wedge\eta$（$U\cap V$ の外では $0$ と置く）が得られます。つまり

$$\partial[\eta]=[d\rho_U\wedge\eta]$$

です。

円周を U = S¹ から N を除いたもの、V = S¹ から S を除いたもので覆う。共通部分 U∩V は二つの弧（太線）で、連結成分が 2 個あるので H⁰(U∩V) は 2 次元になる。

例 4.4（2 点を除いた平面）

$p=(-1,0)$、$q=(1,0)$、$M=\mathbb{R}^2\setminus\{p,q\}$ とし、$U=\{x<1/2\}\setminus\{p\}$、$V=\{x>-1/2\}\setminus\{q\}$ とします。$U\cup V=M$ で、$U\cap V$ は帯状領域 $\{|x|<1/2\}$ で、星形（凸）です。$U$ は半平面から 1 点を除いたもので、$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ と微分同相ですので、系 3.5 (2) により $H^0=\mathbb{R}$、$H^1=\mathbb{R}$、$H^2=H^2(S^1)=0$（定理 5.1 の証明の $n=1$ の部分、あるいは直接 $\Omega^2(S^1)=0$）。$V$ も同様です。

$H^0(M)=\mathbb{R}$（連結）、$H^0(U)\oplus H^0(V)=\mathbb{R}^2$、$H^0(U\cap V)=\mathbb{R}$ で、$\delta^*(a,b)=b-a$ は全射です。よって $\partial\colon H^0(U\cap V)\to H^1(M)$ は $0$ 写像で、$H^1(M)\to H^1(U)\oplus H^1(V)=\mathbb{R}^2$ は単射です。$H^1(U\cap V)=0$（定理 3.4）なので $\delta^*$ の行き先は $0$ で、完全性から $r^*\colon H^1(M)\to H^1(U)\oplus H^1(V)$ は全射です。以上より $H^1(M)\cong\mathbb{R}^2$。さらに $H^1(U\cap V)=0\to H^2(M)\to H^2(U)\oplus H^2(V)=0$ から $H^2(M)=0$。穴が 2 個あれば $H^1$ は 2 次元、という予想どおりです。

5. 球面のコホモロジー

定理 5.1（球面のコホモロジー）✓

1. $S^0$（2 点）では $H^0_{\mathrm{dR}}=\mathbb{R}^2$、他の $k$ で $0$。
2. $n\ge1$ では

$$H^k_{\mathrm{dR}}(S^n)\cong\begin{cases}\mathbb{R}&(k=0,\ n),\\0&(\text{それ以外}).\end{cases}$$

証明の方針は、球面を北極と南極を除いた二つの開集合で覆い、Mayer–Vietoris で次元を一つ下げた球面に帰着させる帰納法です。$n=1$ と $n\ge2$ の違いは、共通部分が $n=1$ では連結成分を二つ持ち、$n\ge2$ では連結である点だけです。この違いが $H^0$ と $H^1$ の場合分けに現れます。

証明（定理 5.1）

(1) は明らかです（点の上の $0$ 形式は数、$k\ge1$ の形式は $0$）。(2) を $n$ に関する帰納法で示します。

$N=(0,\dots,0,1)$、$S=-N$ とし、$U=S^n\setminus\{N\}$、$V=S^n\setminus\{S\}$ とします。立体射影（補題 5.2［微分可能多様体の定義］）により $U\cong\mathbb{R}^n$、$V\cong\mathbb{R}^n$ で、$U\cap V=S^n\setminus\{N,S\}$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ と微分同相です。定理 3.4 から $H^0(U)=H^0(V)=\mathbb{R}$、$k\ge1$ で $H^k(U)=H^k(V)=0$。系 3.5 (2) から $H^k(U\cap V)\cong H^k(S^{n-1})$。定理 4.3 を使います。

$k\ge2$ のとき。　$H^{k-1}(U)\oplus H^{k-1}(V)=0$（$k-1\ge1$）、$H^k(U)\oplus H^k(V)=0$ なので

$$0\to H^{k-1}(U\cap V)\xrightarrow{\ \partial\ }H^k(S^n)\to0$$

が完全で、$H^k(S^n)\cong H^{k-1}(S^{n-1})$。

$k=0,1$ のとき。　系列の初めの部分は

$$0\to H^0(S^n)\to\mathbb{R}^2\xrightarrow{\ \delta^*\ }H^0(U\cap V)\xrightarrow{\ \partial\ }H^1(S^n)\to0 .$$

ここで $H^1(U)\oplus H^1(V)=0$ を使いました。$\delta^*(a,b)=b-a$（定数関数の差）です。

• $n\ge2$：$U\cap V\simeq S^{n-1}$ は連結なので $H^0(U\cap V)=\mathbb{R}$。$\delta^*$ は全射で、核は 1 次元（$a=b$）、よって $H^0(S^n)=\mathbb{R}$、$H^1(S^n)=0$。
• $n=1$：$U\cap V$ は 2 個の連結成分を持つので $H^0(U\cap V)=\mathbb{R}^2$、$\delta^*(a,b)=(b-a,b-a)$ の像は 1 次元。核が 1 次元なので $H^0(S^1)=\mathbb{R}$、余核が 1 次元なので $H^1(S^1)=\mathbb{R}$。

以上から $n=1$ では $k\ge2$ で $H^k(S^1)\cong H^{k-1}(S^0)=0$。$n\ge2$ では $H^k(S^n)\cong H^{k-1}(S^{n-1})$（$k\ge2$）に帰納法の仮定を使えば、$H^n(S^n)\cong H^1(S^1)=\mathbb{R}$ で、それ以外の $k\ge2$ では $0$ です。

∎

とくに $H^1(S^1)=\mathbb{R}$ から、円周上の 1 形式は必ず閉であり（$\Omega^2(S^1)=0$）、$\int_{S^1}$ が同型を与えます。一般に次が成り立ちます。

系 5.2（最高次のコホモロジーは積分で測る）✓

$n\ge1$ とし、$S^n$ に 命題 3.3［ストークスの定理］ の向きを入れる。このとき

$$\int_{S^n}\colon H^n_{\mathrm{dR}}(S^n)\to\mathbb{R},\qquad[\omega]\mapsto\int_{S^n}\omega$$

は well-defined な同型である。

証明（系 5.2）

$\omega$ は $n$ 形式なので閉です。$\omega$ を $\omega+d\alpha$ に取り替えても、$S^n$ はコンパクトで境界を持たないので $\int d\alpha=0$（系 6.2［ストークスの定理］）、積分は変わりません。線形写像は well-defined です。体積形式 $\mu$ では $\int\mu>0$ なので写像は $0$ でなく、$H^n(S^n)$ は 1 次元（定理 5.1）ですから、$0$ でない線形写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は同型です。

∎

系 5.3（穴あき平面の閉 1 形式）✓

$\eta$ を角度形式とする。$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上の閉 1 形式 $\omega$ は、定数 $c=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{S^1}\omega$ と関数 $f$ を用いて $\omega=c\,\eta+df$ と書ける。ここで $S^1$ は単位円（反時計回り）。とくに $H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})=\mathbb{R}[\eta]$。

証明（系 5.3）

系 3.5 (2) と 定理 5.1 より $H^1(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})\cong H^1(S^1)$ は 1 次元で、この同型は $[\omega]\mapsto[j^*\omega]$（$j\colon S^1\to\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ は包含）で、系 5.2 により $\int_{S^1}j^*\omega$ で測れます。$\int_{S^1}\eta=2\pi$ なので、$\omega-c\eta$ の $S^1$ 上の積分は $0$ となり、類が $0$ です。したがって $\omega-c\eta=df$ です。

∎

この系は、ベクトル場の「周回積分」が閉曲線の取り方（ホモトピー類）にしか依らない、という物理学の古典的事実の背景です。

例 5.4（ゲージ場の周回積分）

無限に長い細いソレノイドの外側の領域（$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ と思ってよい）では、磁場は $0$ ですが、ベクトルポテンシャルの 1 形式を $A=\dfrac{\Phi}{2\pi}\eta$ と取ることができます（$\Phi$ はソレノイドの中を貫く磁束）。$dA=0$ は磁場が $0$ であることに相当します。ところが 系 5.3 により、$A$ は $df$ の形に書けません。実際 $\int_{S^1}A=\Phi\ne0$ です。ゲージ変換 $A\mapsto A+df$ では周回積分 $\int A$ は変わらないので、これは物理的に観測できる量です（Aharonov–Bohm 効果では、電子の波動関数の位相 $e^{iq\Phi/\hbar}$ として現れます）。「磁場が $0$ でも $A$ を消せない」ことの数学的な内容が、$H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})\ne0$ です。

例 5.5（トーラスのコホモロジー）

$T^2=S^1\times S^1$ を Mayer–Vietoris で計算します。第 1 の円周を二つの開弧 $A,B$（それぞれ区間と微分同相で、$A\cap B$ は二つの区間 $I_1,I_2$）で覆い、$U=A\times S^1$、$V=B\times S^1$ とします。$U,V\cong\mathbb{R}\times S^1$ で、系 3.5 (1) と 定理 5.1 から $H^0=H^1=\mathbb{R}$、$H^2=0$ です。$U\cap V=(I_1\sqcup I_2)\times S^1$ は 2 個の円柱の非交和で、$H^0=H^1=\mathbb{R}^2$、$H^2=0$ です。

第 2 の円周の角度形式 $d\varphi$ の第 2 射影による引き戻し $g=\mathrm{pr}_2^*d\varphi$ は、$U,V,U\cap V$ の各連結成分の $H^1$ の生成元を与えます（系 3.5 (1) の同型 $\mathrm{pr}_2^*$）。

• $k=0$：$H^0(T^2)=\mathbb{R}$ から、$\delta^*\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$、$(a,b)\mapsto(b-a,b-a)$ の階数は $1$ で、余核は 1 次元。
• $k=1$：$\delta^*\colon H^1(U)\oplus H^1(V)=\mathbb{R}^2\to H^1(U\cap V)=\mathbb{R}^2$ は、$g_U$ の $I_1,I_2$ への制限がどちらも $g$ なので、$(a,b)\mapsto(b-a)(g_1+g_2)$ で階数 $1$。核は 1 次元、余核は 1 次元。

完全性から、$\dim H^1(T^2)=(\text{余核 }1)+(\text{核 }1)=2$、$H^2(T^2)\cong\operatorname{coker}\delta^*=\mathbb{R}$（$H^2(U)\oplus H^2(V)=0$）。以上で $\dim H^k(T^2)=1,2,1$（$k=0,1,2$）が分かりました。$H^1$ の 2 つの生成元は二つの円周それぞれの角度形式 $d\theta_1,d\theta_2$ で、これらはトーラスの二つの独立な閉曲線（経線と緯線）に沿った積分で区別されます。

ヒント

$M$ がコンパクトなら $\dim H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は有限で、特異コホモロジーの Betti 数と一致します（de Rham の定理）。ここで特異コホモロジーは、単体への写像を使って定義される、位相空間のコホモロジーです。多様体の位相的情報が微分形式だけで読み取れるという意味です。この定理の証明はこの記事の範囲を超えます。ここでは球面についてだけ、結果が位相幾何の答えと合うことを確かめました。

6. 演習

演習 6.1易

円柱 $S^1\times\mathbb{R}$ の de Rham コホモロジーを求めよ。

解答

系 3.5 (1) により $H^k(S^1\times\mathbb{R})\cong H^k(S^1)$ なので、定理 5.1 から $H^0=\mathbb{R}$、$H^1=\mathbb{R}$、他は $0$ です。生成元は $d\theta$（$\theta$ は円周の角度座標）の引き戻しです。

演習 6.2標準

$M$ を空でないコンパクトで境界のない、向き付けられた $n$ 次元多様体とする。$H^n_{\mathrm{dR}}(M)\ne0$ を示せ。

解答

向きを定める体積形式 $\mu$（至るところ正）は $n$ 形式なので閉で、$\int_M\mu>0$ です。系 6.2［ストークスの定理］ により完全形式の積分は $0$ なので $\mu$ は完全でなく、$[\mu]\ne0$ です。

演習 6.3標準

Mayer–Vietoris 完全系列を用いて、$\mathbb{R}^3$ から 2 点 $p=(-1,0,0)$、$q=(1,0,0)$ を除いた空間 $M$ の $H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ を求めよ。

解答

例 4.4 と同じく $U=\{x<1/2\}\setminus\{p\}$、$V=\{x>-1/2\}\setminus\{q\}$ を取ります。$U,V\cong\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ で、$H^0=\mathbb{R}$、$H^2=\mathbb{R}$、$H^1=H^3=0$（系 3.5 と 定理 5.1）。$U\cap V$ は星形で $H^0=\mathbb{R}$、他は $0$。$k=0$：$M$ は連結で $H^0(M)=\mathbb{R}$、$\delta^*\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ は全射なので $\partial=0$、$H^1(M)\hookrightarrow H^1(U)\oplus H^1(V)=0$ から $H^1(M)=0$。$k=2$：$H^1(U\cap V)=0\to H^2(M)\to H^2(U)\oplus H^2(V)=\mathbb{R}^2\to H^2(U\cap V)=0$ から $H^2(M)\cong\mathbb{R}^2$。$k=3$：$H^3(U)\oplus H^3(V)=0$、$H^2(U\cap V)=0$ から $H^3(M)=0$。したがって $H^0=\mathbb{R}$、$H^2=\mathbb{R}^2$、他は $0$ です。2 点を囲む 2 個の球面が独立な類を与えます。

演習 6.4難

$S^1$ を反時計回りに向き付け、$N=(0,1)$、$S=(0,-1)$、$U=S^1\setminus\{N\}$、$V=S^1\setminus\{S\}$ とする。$\rho_U,\rho_V$ を従属する 1 の分割とし、$N$ の近くで $\rho_U=0$、$S$ の近くで $\rho_U=1$ とする。$U\cap V$ の二つの連結成分は右半円 $C_1$（$S$ から $N$ へ反時計回りに進む弧）と左半円 $C_2$ である。$h\in H^0(U\cap V)$ を $C_1$ 上で $1$、$C_2$ 上で $0$ の局所定数関数とするとき、連結準同型について $\int_{S^1}\partial[h]$ を求めよ。

解答

本文の公式 $\partial[\eta]=[d\rho_U\wedge\eta]$ を使います。$h$ は $0$ 形式で、$d\rho_U$ は $N,S$ の近くで $0$ なので、$d\rho_U\cdot h$ は $C_1$ に台を持つ $S^1$ 上の 1 形式（$C_1$ の外で $0$）です。$C_1$ を $S$ から $N$ へ反時計回りにたどると $\rho_U$ は $1$ から $0$ に変わるので、

$$\int_{S^1}\partial[h]=\int_{C_1}d\rho_U=\rho_U(N)-\rho_U(S)=0-1=-1 .$$

これは $0$ でないので、$\partial$ は 系 5.2 の同型 $\int_{S^1}$ を通して全射です。一方、定数関数（$C_1,C_2$ の両方で $1$）に対しては $\int d\rho_U=\int_{C_1}d\rho_U+\int_{C_2}d\rho_U=-1+1=0$ で、$\partial$ の核に入ります。これは $\delta^*$ の像と一致していて、完全性と合っています。

参考文献

• Raoul Bott, Loring W. Tu『Differential Forms in Algebraic Topology』Springer、1982 — 第 1 章（de Rham コホモロジー、Mayer–Vietoris、ホモトピー不変性）。
• John M. Lee『Introduction to Smooth Manifolds』（第 2 版）Springer、2013 — 第 17 章（de Rham コホモロジー）。
• Ib Madsen, Jørgen Tornehave『From Calculus to Cohomology』Cambridge University Press、1997 — 第 9〜10 章。
• 松本幸夫『多様体の基礎』東京大学出版会、1988 — de Rham コホモロジーの章。
• 坪井俊『幾何学 III 微分形式』東京大学出版会、2008 — ド・ラームコホモロジー。