数学 › 多様体論 › de Rham コホモロジー

ホモトピー同値は同型を誘導する

系 3.3（「de Rham コホモロジー」§3）・ ✓公理まで証明済み

$F\colon M\to N$ が滑らかなホモトピー同値ならば、 $F^*\colon H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
- ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
  - Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）✓定理 5.6・コホモロジーと双対性
複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解

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