数学 › 多様体論 › de Rham コホモロジー

ホモトピー不変性

定理 3.2（「de Rham コホモロジー」§3）・ ✓公理まで証明済み

$F,G\colon M\to N$ が滑らかにホモトピックならば、 $F^*=G^*\colon H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
- Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Hopf 不変量と絡み数✓定理 4.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対
ホモトピー同値は同型を誘導する✓系 3.3・de Rham コホモロジー
Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー

関連するノック 2 問