数学 › 微分積分学 › 多変数関数の微分と偏微分

シュワルツの定理（n 変数）

定理 9.9（「多変数関数の微分と偏微分」§9） ・ ✓公理まで証明済み

U⊂RnU\subset\mathbb{R}^n を開集合、f:U→Rf:U\to\mathbb{R}、a∈U\boldsymbol a\in U とします。a\boldsymbol a のある近傍で ∂f/∂xi\partial f/\partial x_i、∂f/∂xj\partial f/\partial x_j と、2 階偏導関数 ∂j∂if=∂∂xj(∂f∂xi)\partial_j\partial_if=\dfrac{\partial}{\partial x_j}\Bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\Bigr)、∂i∂jf\partial_i\partial_jf が存在し、後者の 2 つが a\boldsymbol a で連続であれば

∂j∂if(a)=∂i∂jf(a)\partial_j\partial_if(\boldsymbol a)=\partial_i\partial_jf(\boldsymbol a)

です。とくに ff が C2C^2 級ならば、すべての 2 階偏導関数は微分の順序に依らず、ヘッセ行列 (∂i∂jf(a))i,j\bigl(\partial_i\partial_jf(\boldsymbol a)\bigr)_{i,j} は対称です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 8 件