シュワルツの定理（偏微分の順序交換）

定理 7.1（「多変数関数の微分と偏微分」§7）・ ✓公理まで証明済み

$U$ を開集合、 $f: U \to \mathbb{R}$ 、 $\boldsymbol a \in U$ とします。 $f_x, f_y, f_{xy}, f_{yx}$ が $\boldsymbol a$ のある近傍で存在し、 $f_{xy}$ と $f_{yx}$ が $\boldsymbol a$ で連続であるとします。このとき

f_{xy}(\boldsymbol a) = f_{yx}(\boldsymbol a)

が成り立ちます。とくに $f$ が $C^2$ 級ならば、2 階偏導関数は微分の順序に依りません。

$n$ 変数の場合は、2 つの変数だけを動かして帰着させる形で定理 9.9 に証明があります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
- 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
- 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
- 近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性

これを使っている定理証明で参照している 8 件

2 変数のテイラーの定理（2 次まで）✓定理 7.4・多変数関数の微分と偏微分
シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
ストークスの定理（古典形）✓定理 8.1・ベクトル解析と積分定理
調和性は正則写像で保たれる✓命題 7.1・等角写像とリーマン写像定理
実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
完全性の判定条件✓定理 5.4・常微分方程式の初等解法
ネーターの定理（点変換版）✓定理 4.1・対称性と保存則

シュワルツの定理（偏微分の順序交換）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 8 件